Главная страница
Навигация по странице:

  • МАТЕМАТИКА Последовательности. Пределы

  • Дата отправления заданий по физике и математике – 30 ноября 2014г. Составитель: Редкозубова Елена Юрьевна

  • §1. Бесконечные числовые последовательности Определение

  • Вопрос.

  • Пример 1.1.

  • Пример 1.2.

  • Пример 1.3.

  • Пример 1.4.

  • Пример 1.5.

  • §2. Арифметические и геометрические прогрессии Рассмотрим подробнее два важных класса числовых последователь- ностей. Определение.

  • Пример 2.1.

  • Ответ.

  • Ответ. 3, 15 и 27 . Пример 2.4

  • Математика последовательности. Пределы


    Скачать 0.81 Mb.
    НазваниеМатематика последовательности. Пределы
    АнкорM3_10_14.pdf
    Дата22.05.2017
    Размер0.81 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаM3_10_14.pdf
    ТипДокументы
    #4824
    страница1 из 4
      1   2   3   4

    Министерство образования и науки Российской Федерации
    Московский физико-технический институт
    (государственный университет)
    Заочная физико-техническая школа
    МАТЕМАТИКА
    Последовательности. Пределы
    Задание №3 для 10-х классов
    (2014 – 2015 учебный год) г. Долгопрудный, 2014

    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    2
    Составитель: Е.Ю. Редкозубова, ассистент кафедры высшей математики
    МФТИ.
    Математика: задание №3 для 10-х классов (2014 – 2015 учебный год),
    2014, 32 с.
    Дата отправления заданий по физике и математике – 30 ноября 2014г.
    Составитель:
    Редкозубова Елена Юрьевна
    Подписано 15.09.14. Формат 60×90 1/16.
    Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,0.
    Уч.- изд. л. 1,77. Тираж 500 Заказ №13-з.
    Заочная физико-техническая школа
    Московского физико-технического института
    (государственного университета)
    ООО «Печатный салон ШАНС»
    Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700,
    ЗФТШ, тел./факс (495) 408-5145 – заочное отделение, тел./факс (498) 744-6351 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-5580 – очное отделение.
    e-mail: zftsh@mail.mipt.ru
    Наш сайт: www.school.mipt.ru
    © ЗФТШ, 2014

    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    3
    §1. Бесконечные числовые последовательности
    Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется числовая функция = ( ),
    x
    x n определённая на множестве
    N
    натуральных чисел.
    Аргумент
    n
    этой функции записывается в виде индекса, т. е. вместо записи
    )
    (n
    x
    используют запись
    n
    x , а саму последовательность часто обозначают ( )
    n
    x . Число
    n
    x
    называют
    n
    -м (читается: энным) членом последовательности ( )
    n
    x . Задать последовательность означает задать правило по которому каждому натуральному
    n
    сопостовляется дей- ствительное число
    n
    x . Приведём примеры.
    (1)
    1
    ;
    1
    ;
    1
    ; ... (т. е.
    1
    =
    n
    x
    для всех
    N
    n

    );
    (2)
    2 1
    ;
    2 2
    ;
    2 3
    ; ... (т. е.
    2
    = n
    x
    n
    для всех
    N
    n

    );
    (3)
    1
    ;
    2 1
    ;
    3 1
    ; ... (т. е.
    n
    x
    n
    1
    =
    для всех n
    N

    );
    (4) последовательность,
    n
    -й член которой равен
    n
    -му знаку после запятой в десятичной записи числа
    8
    ;
    33
    (5) последовательность,
    n
    -й член которой равен количеству прос- тых чисел, не превосходящих
    n
    ;
    (6)
    1
    =
    1
    x
    ,
    1
    =
    2
    x
    ,
    2 1
    =



    n
    n
    n
    x
    x
    x
    для всех
    3

    n
    (последователь- ность Фибоначчи).
    Как видим, последовательности задаются различными способами.
    Например, указывается формула
    n
    -го члена (примеры (1) – (3)). Закон соответствия между номером
    n
    и членом
    n
    x
    может быть описан сло- весно (примеры (4) – (5)). Последовательность может быть также зада- на рекуррентным соотношением: даны несколько первых членов последовательности и формула, выражающая следующие члены после- довательности через предыдущие (пример (6)).
    Легко убедиться, что в примере (4)
    2
    =
    1
    x
    ,
    4
    =
    2
    x
    ,
    2
    =
    3
    x
    ,
    4
    =
    4
    x
    и т. д., т. е.
    n
    n
    x
    1)
    (
    3
    =


    . В примере (6) формулу
    n
    -го члена найти сложнее:

    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    4 2
    5 1
    2 5
    1 5
    1
    =








    


    

     

    


    

     
    n
    n
    n
    x
    А вот явную формулу
    n
    -го члена последовательности (5) написать невозможно. Тем не менее, многие её свойства установлены и без фор- мулы.
    Скажем несколько слов о геометрическом изображении последова- тельности. Поскольку последовательность
    )
    (
    n
    x
    является функцией, то геометрически её можно изобразить графиком (рис. 1 а). Однако чаще всего члены последовательности изображаются точками координатной прямой, снабжёнными соответствующими пометками (рис. 1 б).
    Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (1),
    (2), (5) и (6)?
    Ответ. Каждый их член, начиная со второго, не меньше предыдуще- го.
    Определение. Последовательность
    )
    (
    n
    x
    называется строго возрас-
    тающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдуще- го, т. е.
    n
    n
    x
    x
    >
    1

    для любого n
    N.

    Последовательность
    )
    (
    n
    x
    называ- ется строго убывающей, если
    n
    n
    x
    x
    <
    1

    для любого n
    N.

    Последова- тельность
    )
    (
    n
    x
    называется нестрого убывающей, если
    n
    n
    x
    x


    1
    для любого n N.

    Последовательность
    )
    (
    n
    x
    называется нестрого возрас-
    тающей, если
    n
    n
    x
    x


    1
    для любого n
    N.

    n
    x
    1
    x
    2
    x
    3
    x
    5
    n
    1 2 3 4 5
    x
    O
    0
    x
    1
    x
    2
    x
    3
    x
    4
    x
    n
    x
    а) б)
    Рис. 1

    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    5
    Все такие последовательности (строго возрастающие, строго убы- вающие, нестрого убывающие, нестрого возрастающие) называются
    монотонными.
    Пример 1.1. Выяснить, является ли монотонной последовательность
    2 3
    =

    n
    n
    x
    n
    Решение. Уточним, чему равен
    1

    n
    x
    . Для этого вместо
    n
    в
    2 3
    =

    n
    n
    x
    n
    подставим
    1

    n
    , т. е.
    1 3(
    1)
    =
    3
    n
    n
    x
    .
    n



    Рассмотрим разность
    =
    3)
    2)(
    (
    3)]
    (
    2)
    1)(
    3[(
    =
    2 3
    3 1)
    3(
    =
    1












    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    x
    x
    n
    n
    0,
    >
    3)
    2)(
    (
    6
    =


    n
    n
    значит,
    n
    n
    x
    x
    >
    1

    для любого n
    N

    . По определению последователь- ность
    )
    (
    n
    x
    является строго возрастающей.
    Приведённые рассуждения являются стандартными при доказатель- стве монотонности последовательности. Используя особенности после- довательности ( )
    n
    x , можно установить её возрастание более простым способом. Запишем
    n
    x
    в виде
    2 6
    3
    =
    2 6
    6 3
    =





    n
    n
    n
    x
    n
    , тогда
    =
    2 6
    3
    >
    3 6
    3
    =
    1
    n
    n
    x
    n
    n
    x





    Пример 1.2. Выяснить, является ли монотонной последовательность
    = 3 ( 1)
    n
    n
    x
    .
     
    Решение. Последовательность не является монотонной, поскольку
    m
    m
    x
    x
    2 1
    2
    =
    4
    <
    2
    =

    и
    1 2
    2
    =
    2
    >
    4
    =

    m
    m
    x
    x
    для всех натуральных m.
    Вопрос. Каким общим свойством обладают последовательности (1),
    (3) и (4)?
    Ответ. Все их члены лежат на отрезке [0; 4].
    Определение. Последовательность
    )
    (
    n
    x
    называется ограниченной, если существует число
    0
    >
    C
    такое, что для любого натурального
    n
    выполняется неравенство |
    |
    n
    x
    C.


    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    6
    Пример 1.3. Доказать, что последовательность
    )
    (
    n
    x
    является огра- ниченной тогда и только тогда, когда все её члены лежат на некотором отрезке.
    Решение. Пусть последовательность
    )
    (
    n
    x
    ограничена. Тогда сущес- твует число
    0
    >
    C
    такое, что
    C
    x
    n

    |
    |
    для любого n
    N

    . Последнее неравенство можно переписать в виде
    n
    C
    x
    C
     

    , т. е.
    [
    ; ]
    n
    x
    C C
     
    Обратно, пусть все члены
    )
    (
    n
    x
    лежат на некотором отрезке [ ;
    ]
    m M .
    Выберем симметричный отрезок [
    ;
    ]
    C C

    , содержащий [ ;
    ]
    m M , тогда
    C
    x
    C
    n



    и, следовательно, |
    |
    n
    x
    C

    . В качестве такого
    C
    можно взять, например,
    {|
    |, |
    |}
    max m
    M
    Пример 1.4. Выяснить, является ли ограниченной последователь- ность
    2 10( 1)
    =
    1
    n
    n
    n
    x
    n


    Решение. Рассмотрим
    2 10
    |
    |=
    1
    n
    n
    x
    n

    . Поскольку при уменьшении знаменателя положительной дроби значение дроби увеличивается, имеем:
    10.
    10
    =
    10 1
    10
    |=
    |
    2 2



    n
    n
    n
    n
    n
    x
    n
    Значит,
    10
    |
    |

    n
    x
    для любого n
    N

    . По определению последователь- ность
    )
    (
    n
    x
    является ограниченной.
    Пример 1.5. Выяснить, является ли ограниченной последователь- ность
    2
    =
    n
    x
    n .
    Решение. Предположим, что последовательность
    )
    (
    n
    x
    является ог- раниченной. Это означает, что существует такое число
    > 0
    C
    , что при всех
    n
    выполняется неравенство
    2
    |
    |
    n
    C

    . Однако при
    1
    >

    C
    n
    неравенство не выполняется. Следовательно, предположение неверно, т. е. последовательность
    )
    (
    n
    x
    не является ограниченной.

    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    7
    §2. Арифметические и геометрические прогрессии
    Рассмотрим подробнее два важных класса числовых последователь- ностей.
    Определение. Последовательность ( )
    n
    x , каждый член которой, на- чиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d , называется арифметической прогрессией. Число d

    раз-
    ность прогрессии.
    Таким образом, арифметическая прогрессия есть последователь-ность, заданная рекуррентно равенством
    d
    x
    x
    n
    n


    =
    1
    и первым членом
    1
    x .
    Перечислим основные свойства арифметической прогрессии.
    1) Формула
    n
    -го члена арифметической прогрессии:
    ,
    1)
    (
    =
    1
    N
    n
    d
    n
    x
    x
    n



    (2.1)
    2) Для конечной арифметической прогрессии
    n
    x
    x
    x
    ,
    ,
    ,
    2 1

    суммы членов, равноотстоящих от концов, равны:







    =
    =
    =
    2 3
    1 2
    1
    n
    n
    n
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    ,
    2,
    1,
    =
    ,
    =
    1
    n
    k
    x
    x
    k
    n
    k




    (2.2)
    3) Формула суммы
    n
    первых членов арифметической прогрессии:
    ,
    2
    =
    1
    n
    x
    x
    S
    n
    n

    (2.3) или, учитывая 1),
    1 2
    (
    1)
    =
    2
    n
    x
    n
    d
    S
    n


    (2.3`)
    Приведём ещё характеристическое свойство арифметической про- грессии.
    4) Последовательность
    )
    (
    n
    x
    является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов:
    2.
    ,
    2
    =
    1 1




    n
    x
    x
    x
    n
    n
    n
    (2.4)
    Приведём доказательство лишь 4). Пусть дана арифметическая про- грессия ( )
    n
    x , тогда при
    2

    n
    имеем
    d
    x
    x
    n
    n


    1
    =
    и
    1
    =
    n
    n
    x
    x
    d


    Складывая почленно эти равенства, получаем
    1 1
    2
    =
    n
    n
    n
    x
    x
    x



    . Обратно, пусть для
    n
    -го члена (
    )
    n
    x ,
    2
    n

    , выполнено равенство (2.4) , тогда

    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    8 1
    1
    =
    2



    n
    n
    n
    x
    x
    x
    или
    1 1
    =
    n
    n
    n
    n
    x
    x
    x
    x




    . Отсюда получаем, что
    1 2
    1
    =
    n
    n
    x
    x
    x
    x



    , т. е. любые два соседних члена последовательности отличаются на одно и то же число
    2 1
    =
    d
    x
    x

    . По определению после- довательность
    )
    (
    n
    x
    является арифметической прогрессией.

    Пример 2.1. Найти сумму первых 10 членов арифметической про- грессии, если
    5 6
    = 4
    x
    x

    Решение. По формуле
    (2.3)
    1 10 10
    =
    10 2
    x
    x
    S

    . Заметим, что члены
    5
    x
    и
    6
    x
    равноотстоят от
    1
    x
    и
    10
    x
    соответственно. По
    (2.2)
    1 10
    =
    x
    x

    5 6
    = x
    x

    , следовательно,
    10 4
    =
    10 = 20 2
    S

    Ответ. 20.
    Определение. Последовательность ( )
    n
    x , первый член которой отли- чен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q , называется
    геометрической прогрессией. Число q

    знаменатель прогрессии.
    Таким образом, геометрическая прогрессия есть последователь- ность, заданная рекуррентно равенством
    1
    =
    n
    n
    x
    x q

    , первым членом
    0 1

    x
    и знаменателем
    0
    q

    Перечислим основные свойства геометрической прогрессии.
    1) Формула
    n
    -го члена геометрической прогрессии имеет вид
    1 1
    =
    ,
    n
    n
    x
    x q
    n
    N.


    (2.5)
    2) Для конечной геометрической прогрессии
    n
    x
    x
    x
    ,
    ,
    ,
    2 1

    произ- ведения членов, равноотстоящих от концов, равны:
    =
    =
    =
    =
    2 3
    1 2
    1






    n
    n
    n
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    ,
    2,
    1,
    =
    ,
    =
    1
    n
    k
    x
    x
    k
    n
    k




    (2.6)
    3) Формула суммы
    n
    первых членов геометрической прогрессии:
    q
    q
    x
    S
    n
    n


    1 1
    =
    1
    при
    1

    q
    и
    1
    =
    x
    n
    S
    n

    при
    1
    q
    .

    Приведём ещё характеристическое свойство геометрической прогрессии.

    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    9 4) Числовая последовательность
    )
    (
    n
    x
    ненулевых членов является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каж- дого её члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних членов:
    2,
    ,
    =
    1 1




    n
    x
    x
    x
    n
    n
    n
    (2.8) или
    2.
    ,
    =
    )
    (
    1 1
    2




    n
    x
    x
    x
    n
    n
    n
    (2.8`)
    Докажем свойство 4). Пусть последовательность
    )
    (
    n
    x
    является гео- метрической прогрессией, тогда
    2 1 2 2
    1 1
    1 1
    1
    = (
    ) =
    =
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    x
    x q
    x q
    x q
    x
    x
    .






    Обратно, пусть все члены последовательности
    )
    (
    n
    x
    отличны от нуля и для
    n
    -го её члена,
    2
    n

    , выполнено
    2 1
    1
    =
    n
    n
    n
    x
    x
    x



    , тогда
    1 1
    =
    n
    n
    n
    n
    x
    x
    x
    x


    Следовательно,
    1 2
    1
    =
    n
    n
    x
    x
    x
    x

    , или
    1
    =
    n
    n
    x
    x q

    , где
    2 1
    =
    x
    q
    x
    . По определению последовательность
    )
    (
    n
    x
    является геометрической прогрессией.

    Пример 2.2. Известно, что
    1 2
    ,
    ,
    ,
    n
    x x
    x

    геометрическая прогрес- сия. Известны числа
    n
    x
    x
    x
    S




    2 1
    =
    и
    1 2
    1 1
    1
    =
    n
    T
    x
    x
    x

     
    . Найти
    1 2
    =
    n
    P
    x x
    x
      
    Решение. Обозначим знаменатель прогрессии через
    q
    . Преобразуем искомую величину
    =
    =
    =
    1 2
    1 1
    1 1
    1 1
    2 1











    n
    n
    n
    n
    q
    x
    q
    x
    q
    x
    x
    x
    x
    x



    )
    (
    =
    =
    2 1
    2 1
    2 1)
    (
    1
    n
    n
    n
    n
    n
    q
    x
    q
    x


    Пусть
    1

    q
    , тогда
    1 1
    =
    1
    n
    q
    S
    x
    q


    Последовательность
    1 2
    1
    , 1
    ,
    , 1
    n
    / x
    / x
    / x является геометрической прогрессией со знаме- нателем 1 / q . Следовательно,
    1 1
    1 1
    =
    1
    n
    q
    T
    x
    q





    , т. е.
    1 1
    1 1
    =
    (
    1)
    n
    n
    q
    T
    .
    x
    q
    q




    Отсюда заключаем, что
    2 1
    1
    /
    =
    n
    S T
    x q

    . Последнее равенство, очевидно, справедливо и при = 1
    q
    . Следовательно,
    n
    n
    S
    P
    T

    Ответ.
    n
    n
    S
    T

    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    10
    Пример 2.3. Три положительных числа образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если среднее из них уменьшить на
    40%,
    то получится геометрическая прогрессия, сумма членов которой равна
    39. Найти эти числа.
    Решение. Обозначим данные числа
    ,
    ,
    3 2
    1
    x
    x
    x
    По условию сумма
    3 2
    1 0,6
    x
    x
    x


    равна 39. По характеристическому свойству арифмети- ческой прогрессии
    3 1
    2
    =
    2
    x
    x
    x

    и, следовательно,
    1 2
    3 2
    0,6
    = 2,6
    x
    x
    x
    x


    Отсюда получаем, что
    2
    = 15
    x
    . По характеристическому свойству гео- метрической прогрессии
    2 2
    1 3
    (0,6 ) =
    x
    x x

    . Итак,
    30
    =
    3 1
    x
    x

    и
    1 3
    = 81
    x x

    , т. е. по обратной теореме Виета
    1
    x
    и
    3
    x
    являются корнями уравнения
    2 30 81 = 0
    x
    x


    . Корни этого уравнения равны 3 и 27, сле- довательно,
    3
    =
    1
    x
    и
    3
    = 27
    x
    , поскольку последовательность
    3 2
    1
    ,
    ,
    x
    x
    x
    по условию является возрастающей.
    Ответ.
    3
    ,
    15
    и 27.
    Пример 2.4. Найти формулу
    n
    -го члена последовательности, задан- ной рекуррентно:
    1 1
    1
    =
    ;
    = 2 1
    2
    n
    n
    x
    x
    x


    , n
    N.

    Решение.
    Рассмотрим вспомогательную последовательность
    =
    n
    n
    y
    x
    a

    , где число a подбирается так, чтобы последовательность
    n
    y
    была геометрической прогрессией. Подставляя
    a
    y
    x
    n
    n

    =
    и
    1 1
    =
    n
    n
    x
    y
    a



    в рекуррентное соотношение, имеем
    1
    = 2(
    ) 1
    n
    n
    y
    a
    y
    a


     
    , т. е.
    )
    (1 2
    =
    1
    a
    y
    y
    n
    n



    . Последовательность
    n
    y
    будет геометричес- кой прогрессией, если 1
    = 0
    a

    , т. е.
    = 1
    a
    . Поскольку
    1 1
    3
    =
    =
    2
    y
    x
    a

    , формула общего члена геометрической прогрессии
    n
    y
    запишется так:
    1 3
    =
    2 2
    n
    n
    y

    1 3
    (
    =
    ,
    = 2)
    2
    y
    q
    . Тогда
    2
    =
    = 3 2 1
    n
    n
    n
    x
    y
    a




    ,
    2
    n

    Ответ.
    2
    = 3 2 1
    n
    n
    x



    ,
    2
    n


    2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

    2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
    11
      1   2   3   4
    написать администратору сайта