Главная страница
Навигация по странице:

  • Логарифмическая частотная характеристика (ЛАЧХ)

  • Построение логарифмических частотных характеристик сложных систем

  • Пример расчета асимптотических логарифмических частотных характеристик.

  • Решение. 1.

  • Вычисление частотных характеристик звена или системы Пусть задана передаточная функция звена, например

  • Mathcad : Re () и Im ()

  • Инструменты графиков

  • ОТУ_5_лабораторная_работа. Работа 5 Построение логарифмических частотных характеристик систем автоматического регулирования


    Скачать 1.02 Mb.
    НазваниеРабота 5 Построение логарифмических частотных характеристик систем автоматического регулирования
    АнкорОТУ_5_лабораторная_работа.doc
    Дата04.06.2017
    Размер1.02 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаОТУ_5_лабораторная_работа.doc
    ТипДокументы
    #7454

    Работа № 5

    Построение логарифмических частотных характеристик систем автоматического регулирования


    Продолжительность работы – 4 часов.

    Цель работы


    Получение навыков расчета частотных характеристик элементарных линейных звеньев. Исследование особенностей построения частотных характеристик (вещественных, мнимых, амплитудно-частотных, фазовых) и реальных и идеальных (асимптотических) логарифмических частотных характеристик элементарных линейных звеньев, построение характеристик с применением пакета символьной математики Mathcad.

    Теоретическое обоснование


    При практических расчетах СУ удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмических координатах. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют наименьшую кривизну и могут быть приближенно заменены ломанными линиями, составленными из нескольких отрезков. Причем эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений, при помощи некоторых простых правил. Кроме того в логарифмической системе координат легко находятся характеристики различных соединительных элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

    Логарифмическая частотная характеристика (ЛАЧХ) – частотная характеристика в логарифмическом масштабе.

    L(), ДБ Октава




    20

    10

    -1 0 1 2 lg
    0,1 0,5 1 2 5 10 100

    -10 Декада
    -20

    За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервалы частоты, заключенный между произвольным значением ωi и его десятикратным значением 10ωi. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.

    Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

    L(ω)=20lg{W(ω)}

    Ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – Белах или децибелах(дБ).

    1 Бел = 10 дБ

    1 Бел – единица измерения мощностей двух сигналов.







    - ЛАЧХ
    из передаточной функции системы заменой комплексной переменной s на может быть получена функция, называемая комплексным коэффициентом передачи системы



    комплексный коэффициент передачи может быть представлен в двух видах:

    ,

    ,

    где и - вещественная и мнимая частотные характеристики системы,

    и - амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики системы.

    Связь между этими частотными характеристиками определяется формулами



    Амплитудно-частотная характеристика системы является модулем комплексного коэффициента передачи , а фазовая частотная характеристика - его аргументом

    В частотной области динамические свойства линейных звеньев характеризуются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками. Эти характеристики связаны с передаточной функцией соотношениями





    где - комплексный коэффициент передачи,

    - комплексная переменная

    При анализе и синтезе систем управления используются логарифмические частотные характеристики (ЛАЧХ).

    Функция называется логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ). По оси абсцисс ЛАЧХ строится в десятичном масштабе частот , а по оси ординат - Единицей измерения является децибел (дБ), а единицей измерения интервала частоты - декада. Декада - интервал частоты, на котором она изменяется в десять раз.

    Логарифмической фазочастотной характеристикой (ЛФЧХ) называется фазовая частотная характеристика , построенная в десятичном масштабе частот lg ω. Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФЧХ) измеряется в радианах или градусах.

    Низкочастотная асимптота ЛАЧХ представляет собой предел



    Высокочастотная асимптота ЛАЧХ есть предел логарифмической АЧХ



    Асимптотической ЛАЧХ является характеристика, составленная из асимптот.

    Разность между действительной и асимптотической ЛАЧХ есть поправка

    Частота , на которой сопрягаются различные асимптоты, называются частотой сопряжения.

    Для ЛАЧХ, составленных из трех и более участков асимптот, существует несколько частот сопряжения ωс1, ωс2, ωс3, и т.д. Обычно частоты сопряжения нумеруются в порядке возрастания, т.е. ωс1<ωс2<ωс3<… Наибольшая разность имеет место на частоте спряжения ωсi. Поэтому именно в ее окрестностях следует учитывать поправку.
    Построение логарифмических частотных характеристик сложных систем

    • Методика построения ЛАЧХ сводится к следующим этапам:

    • ЛАЧХ строится по W(s) разомкнутой части системы.

    • Определить коэффициент пропорциональности системы К и 20lgК ;

    • Определить частоты сопряжения элементарных звеньев и определить lgwс, где wс- соответствующие частоты сопряжения;

    • Расположить элементарные звенья по возрастанию частот сопряжения wс и lgwс;

    • Задаться наклоном +20дБ/дек или -20дБ/дек и кратным им наклонам в масштабе координатной плоскости;

    • Если передаточная функция разомкнутой части системы содержит n одинаковых звеньев, то наклон ЛАЧХ будет увеличен в n раз.

    Методику построения ЛАЧХ системы можно разделить на четыре типа по особенностям системы управления:

    • для статической системы;

    • для астатической;

    • для системы с дифференцирующим звеном;

    • для системы с неявно выраженным апериодическим звеном второго порядка.

    Ниже представлены частотные характеристики и асимптотические ЛАЧХ и методика их расчета для типовых звеньев.
    Пропорциональное звено

    Передаточная функция пропорционального звена может быть представлена выражением

    (4.1.)

    Из формулы (4.1.), выполнив замену , можно найти комплексный коэффициент передачи пропорционального звена вещественную частотную характеристику мнимую частотную характеристику амплитудно-частотную характеристику и фазовую частотную характеристику .

    Действительная логарифмическая амплитудно-частотная характеристика пропорционального звена будет равна .

    Она совпадает с асимптотической логарифмической амплитудно-частотной характеристикой пропорционального звена равна

    ,

    Логарифмическая фазочастотная характеристика пропорционального звена равна

    .

    График показан на рис. 5.1. Для этого звена асимптотическая ЛАЧХ совпадает с истинным во всем диапазоне частот ω.




    Для определения коэффициента усиления нужно измерить значение в децибелах (дБ) и записать соотношение , из которого можно найти значение коэффициента пропорциональности .

    Логарифмическая фазочастотная характеристика пропорционального звена совпадает с осью абсцисс (рис.5.2).





    Интегрирующее звено

    Передаточная функция интегрирующего звена равна

    .

    Из формулы передаточной функции интегрирующего звена, выполнив замену , можно найти

    комплексный коэффициент передачи



    вещественную частотную характеристику



    мнимую частотную характеристику



    амплитудно-частотную характеристику



    и фазовую частотную характеристику



    Годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) интегрирующего звена, зависимость Q() от P(), представляет собой прямую линию, совпадающую с мнимой осью.

    Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика интегрирующего звена равна

    .

    Логарифмическая фазочастотная характеристика интегрирующего звена равна



    На рис. 5.3. представлен график . Эта характеристика имеет следующие особенности:

    наклон равен -20 дБ/дек во всем диапазоне частот,

    н
    а частоте =1 значение равно , т.е. .

    Ф
    азочастотная характеристика постоянна во всем диапазоне частот << и равна (рис.4.4.)

    Для оценки коэффициента по следует воспользоваться соотношением .
    Дифференцирующее звено

    Уравнение работы дифференцирующего звена имеет следующий вид:

    .

    Дифференцирующим звеном является конденсатор, ток в котором i(t) определяется соотношением а также тахогенератор постоянного тока, вырабатывающий напряжение пропорциональное производной от угла поворота (t).

    Преобразуя уравнение динамики по Лапласу, получаем откуда найдем передаточную функцию звена:



    где

    Итак, передаточная функция дифференцирующего звена равна

    .

    Из передаточной функции дифференцирующего звена могут быть найдены все его частотные характеристики:

    комплексный коэффициент передачи



    вещественная частотная характеристика



    мнимая частотная характеристика



    амплитудно-частотная характеристика



    и фазовая частотная характеристика


    Годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) дифференцирующего звена, зависимость Q() от P(), представляет собой прямую линию, совпадающую с положительным направлением мнимой оси (от 0 до ).

    Для нахождения действительной ЛАЧХ прологарифмируем амплитудно-частотную характеристику:



    О
    тсюда следует, что логарифмическая амплитудно-частотная характеристика дифференцирующего звена является прямой линией с наклоном +20 дБ/дек (рис.5.5).

    Логарифмические частотные характеристики имеют следующие особенности.

    Наклон равен +20 дБ/дек во всем диапазоне частот <<.

    на частоте значение равно , т.е.

    ф
    азочастотная характеристика дифференцирующего звена постоянна во всем диапазоне частот << и равна (рис.4.6.):

    .
    Для оценки коэффициента пропорциональности по логарифмической амплитудно-частотной характеристике следует измерить значение и воспользоваться соотношением .
    Инерционное (апериодическое) звено первого порядка

    Передаточная функция инерционного звена равна

    .

    Комплексный коэффициент передачи звена будет:



    Для нахождения вещественной и мнимой частотных характеристик инерционного звена представим это выражение в следующем виде: отсюда получим вещественную и мнимую частотные характеристики инерционного звена , . Из полученных зависимостей следует, что функция - четная, а функция - нечетная.

    Для нахождения годографа АФЧХ инерционного звена, зависимости Q4() от P4(), найдем уравнение в функции от переменных и .

    Получим . Подставляя это выражение в формулу для Q4(), находим: . Преобразуя эту зависимость, имеем: . Таким образом, годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) инерционного звена представляет собой окружность

    Учитывая известную связь между частотными характеристиками найдем амплитудно-частотную и фазовую частотные характеристики:



    .

    Действительная логарифмическая амплитудная частотная характеристика равна



    Характеристика имеет низкочастотную и высокочастотную асимптоты, которые сопрягаются на частоте сопряжения .

    Низкочастотная асимптота ЛАЧХ инерционного звена представляет собой предел, при этом и второе слагаемое ЛАЧХ равно нулю.



    Высокочастотная асимптота ЛАЧХ находится как из условия . Тогда и

    .

    Асимптотической ЛАЧХ является характеристика, составленная из асимптот - двух прямых линий: и



    Графики и показаны на рис. 5.7.

    Эти характеристики имеют следующие особенности:

    низкочастотная асимптота имеет 0 наклон,

    высокочастотная асимптота имеет наклон–20 дБ/дек,

    асимптоты и сопрягаются на частоте сопряжения .

    фазочастотная характеристика на частоте сопряжения принимает значение

    при уменьшении частоты относительно частоты сопряжения фазочастотная характеристика стремиться к нулю;

    при увеличении частоты относительно частоты сопряжения фазочастотная характеристика стремиться к значению .


    рис. 5.7. Асимптотическая логарифмическая амплитудная частотная характеристика инерционного звена



    Для оценки неизвестных значений параметров K и T по ЛАЧХ необходимо построить низкочастотную асимптоту, имеющую нулевой наклон, и высокочастотную асимптоту, имеющую отрицательный наклон -20 дБ/дек. Точка пересечения этих асимптот дает частоту сопряжения и ординату, соответствующую значению , т.е. на частоте значение равно .



    Параметр K находится по формуле .

    для определения значения T нужно воспользоваться выражением или , .

    Пример расчета асимптотических логарифмических частотных характеристик. Задана передаточная функция инерционного типового звена первого порядка: W(s)=k/(Ts+1), требуется рассчитать и построить асимптотическую ЛАЧХ.

    Решение.

    1. Заменим s на с учетом того, что и путем несложных преобразований получим : W()=k/(T +1)

    2. Запишем выражение амплитуды W(ω):





    3. Запишем выражение ЛАЧХ L(ω):



    Следовательно, в низкочастотной области





    Следовательно, в области высокой частоты



    4. Частоты, соответствующие точкам сопряжения отрезков, называются сопрягающими и обозначаются ωс=1/Т
    5. Строим график ЛАЧХ:
    L(), дБ

    20

    20lgk -20дБ\дек

    10

    lg
    0,1 0,5 ωс=1/Т 1 2 5 10 100

    -10
    -20 Низкочастот- Высокочастотная область

    ная область

    Порядок выполнения работы


    В соответствии с вариантом задания в табл.4.1. произвести построение частотных характеристик типовых звеньев первого порядка и графоаналитическим способом рассчитать их параметры.

    Вычисление частотных характеристик звена или системы

    Пусть задана передаточная функция звена, например:



    Найдём комплексный коэффициент передачи, заменив переменную s на j Для этого введём мнимую единицу .
    Для этого заменим s (оператор Лапласа) на () : с учетом того, что и путем несложных преобразований - подстановку комплексной переменной и перемножение числителя и знаменателя на комплексно сопряженное число получим:

    ,

    Избавляясь от мнимой единицы j в знаменателе (иррациональности), получаем комплексный коэффициент передачи в виде:

    .

    Вещественная часть ККП:

    Мнимая часть ККП:

    .

    .


    Запишем комплексный коэффициент передачи формальной заменой s на в передаточной функции разомкнутой системы и выведем полученное выражение на экран с помощью «символьной стрелки», вызываемой также из палитры Символьные операторы:



    Для нахождения вещественной и мнимой частотных характеристик звена воспользуемся стандартными функциями Mathcad: Re() и Im() соответственно:

    ,



    Для нахождения вещественной и мнимой частей выражения в Mathcad имеются специализированные встроенные функции:



    Выбрать из командной строки опцию «вставка функции» f(x) и из предложенного списка слева – категория функции – комплексные числа (Complex Number), из предложенного списка справа – имя функции Re() или Im() – далее клик по кнопке «ОК» или «добавить».







    Однако возможности Mathcad не позволяют сразу получить комплексный коэффициент передачи в виде суммы вещественной и мнимой частей.

    При этом следует учесть, что комплексный коэффициент передачи может быть представлен в виде

    ,

    где - вещественная часть комплексного коэффициента передачи,

    - мнимая часть комплексного коэффициента передачи.



    Тогда мнимая и вещественная части будут равны:





    Для построения годографа АФЧХ звена зададим диапазон и шаг изменения аргумента (частоты), воспользовавшись знаком «многоточие», вызываемым с помощью символа «;»:



    Далее из палитры Инструменты графиков вызовем поле декартовых координат (Ctrl+2), где в позиции на оси абсцисс запишем P(ω), а на оси ординат – Q(ω):

    Для построения вещественной и мнимой частотных характеристик звена зададим диапазон и шаг изменения аргумента (частоты), воспользовавшись знаком «многоточие», вызываемым с помощью символа «;»:

     : =0, 0.1 .. 1000

    Далее из палитры Инструменты графиков вызовем поле декартовых координат (Ctrl+2), где в позиции на оси абсцисс запишем , а на оси ординат –P(ω) или Q(ω):

    Теперь определим амплитудную-частотную (АЧХ) и фазовую частотную (ФЧХ) характеристики. По определению, АЧХ вычисляется как модуль комплексного коэффициента передачи, а ФЧХ - как его аргумент:







    Действительная логарифмическая АЧХ в соответствии с определением вычисляется по формуле:

    Д
    ля построения логарифмических частотных характеристик из палитры Инструменты графиков вызовем поле координат (Ctrl+2), где в позиции на оси ординат запишем логарифмическую АЧХL() или фазовую частотную характеристику (), а на оси абсцисс задаем логарифмический масштаб - lg.

    Далее произвести построение асимптотических логарифмических частотных характеристик системы автоматического регулирования по вариантам заданий 4-ой лабораторной работы в соответствии с методикой изложенной выше в п.4.2.4.






    написать администратору сайта