Главная страница
Финансы
Экономика
Биология
Ветеринария
Сельское хозяйство
Медицина
Математика
Начальные классы
Информатика
Вычислительная техника
Право
Юриспруденция
История
Философия
Логика
Этика
Религия
Политология
Социология
Физика
Промышленность
Энергетика
Языки
Языкознание
Культура
Искусство
Автоматика
Связь
Электротехника
Химия
Воспитательная работа
Другое
Дошкольное образование
Экология
Строительство
Русский язык и литература
Классному руководителю
Геология
Физкультура
Доп
образование
Иностранные языки
География
Логопедия
Школьному психологу
Технология
ИЗО, МХК
Обществознание
Казахский язык и лит
Механика
ОБЖ
Музыка
Директору, завучу
Социальному педагогу
Психология

Шпоры по матану [3 семестр]. 1. Комплексные числа и действия над ними


Название1. Комплексные числа и действия над ними
АнкорШпоры по матану [3 семестр].doc
Дата08.06.2017
Размер251 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаШпоры по матану [3 семестр].doc
ТипДокументы
#8463
КатегорияМатематика
страница1 из 5
  1   2   3   4   5

Т Ф К П
1. Комплексные числа и действия над ними.

z= x+ iy= |x=Re z – действит. часть, y=Jm z – мнимая часть| = Re z + Jm z. z-= x- iy – сопряжённое число для z= x+ iy. Задание компл. Числа z= x+ iy равносильно заданию точки или свободного вектора (х,у). Поэтому оно изображается на плоскости R2 как точка или вектор (х,у). Компл. Числа z1= x1+ iy1 и z2= x2+ iy2 сладываются и вычитаются как векторы (х11) и (х22). Но в умножении есть отличие. Если для векторов определено скалярное умножение, результатом которого является действ. число: (х11) (х22)= х1х2+ у1у2, то результатом умножения комплексных чисел является комплексное число: (x1+ iy1)(x2+ iy2)= (х1х2- у1у2) + i(y1х2+ x1у2). Для векторов деление вообще не определено, а для комплексных чисел определено: (x1+ iy1)/ (x2+ iy2)= ((x1+ iy1) (x2- iy1))/ ((x2+ iy2) (x2- iy2))= (х1х2+ у1у2)/ (x22+y22)+ i(y1х2- x1у2)/ (x22+ y22). Этим отличается С – множество комплексных чисел z= x+ iy (комплексная плоскость) от R2 – множества векторов (х,у). Числа z= x+ i0= xR изображаются как точки действительной оси Ох или как векторы (х,0)|| Ох, числа z= 0+ iy= iy (чисто мнимые) изображаются как точки мнимой оси Оу или как векторы (0,у)|| Оу. = d(z,0)= (x2+y2)= |z| - модуль числа z. В частности, если z=xR, то |z|= (x2+02)= (x2)= |x| - абсолютная величина = (Ох,^z)= Arg z – аргумент числа z. Arg z определяется многозначно с точностью до 2k. Его значение, взятое в промежутке ]-,[, называется главным значением аргумента: arg z. -
[x= cos, y=sin] z= x+ iy= (cos+ isin) – тригонометрическая форма комплексного числа. По формуле Эйлера cos+ isin= ei, поэтому z= ei= |z|eiArgz- показательная форма комп. числа. В показательной (и тригономнтрической) форме удобно производить умножение и деление, возведение в натуральную степень и извлечение натурального корня. z1z2= 1ei 2ei= 12ei1ei2= | раньше показано, что ez1+z2= ez1ez2|= 12ei1+i2= 12ei(1+2) |z1z2|= |z1||z2|, Arg(z1z2)= Arg(z1)+ Arg(z2). При умножении модули умножается, а аргументы складываются (равенство с участием Arg понимается с точностью до 2к, т.е. левая и правая части равенства могут отличаться на 2к). Геометрически: при умножении z1= 1ei1 на z2= 2ei2 вектор 1ei1 растягивается в 2 раз и поворачивается на угол 2. z1/z2= 1ei1/2ei2= (1/2) ei1 (1/ei2)= | раньше показано 1/ez= e-z|= (1/2) ei1e-i2= (1/2) ei(1-2)|z1/z2|= |z1|/|z2|, Arg(z1/z2)= Arg z1- Arg z2. При делении модули делятся аргументы вычетаются. Вектор 1ei1 стягивается в 2 раз и поворачивается на угол -2. zn= (ei)n= n(ei)n= n ei ei… ei= nei+i+…+i= nein|zn|= |z|n, Arg zn= nArg z.

n(z)= w= ?. Пусть w= rei. Должно быть wn= z. [wn= z] [(rei)n= ei] [rnein)= ei] [rn= & n= +2k] [r= n+()& = /n+ 2k/n] [w= n(z)= n+()ei(/n+2k/n)]. n(ei)= n+()ei(/n+2k/n), |n(z)|= n+(|z|), Arg n(z)= Argz/n+ 2k/n. При любом кZ, отличном от 0,1,2,…,n-1, получается значение корня, совпадающее с одним из значений, вычисленных при k=0,1,…,n-1. Действительно, пусть k0,1,..,n-1. Поделив k на n, получим k=nq+ r, где qZ – частное, rZ – остаток, 0rn-1. Отсюда 2к/n= 2q+ 2r/n, где r- одно из чисел 0,1,…,n-1 и Arg n(z)= Argz/n+ 2k/n= Argz/n+ 2r/n+ 2q= |равенство с точностью до 2q|= Argz/n +2r/n, r= 0,1,…,n-1. Т.о. n(z) имеет n значений. Их модули одинаковы: | n(z)|= n+(), поэтому они лнежат на окружности радиуса n+(|z|) с ценром 0. Аргументы корней: /n, /n+ 2/n, /n+ (2/n)2,…, /n+ (2/n)(n-1). Поэтому все значения корня n(z0), n(z1), n(z2),…, n(zn-1) лежат в вершинах правильного n-угольника.

2. Комплексная функция действительного переменного.

Задание комплексной функции действительного переменного z= z(t)= x(t)+ iy(t), где tR, равносильно заданию вектор-функции (x(t),y(t)). Поэтому понятие предела, непрерывности, производной вектор-функции переносятся на комплекснозначную функцию действительного переменного z=z(t): [lim(tt0)z(t)= a+bi] [lim(tt0)x(t)= a & lim(tt0)y(t)= b]; [z(t) c{t0}] [x(t) c{t0} & y(t) c{t0}], z(t0)= lim(tt0)(z(t)-z(t0))/(t-t0)= x(t0)+ iy(t0). z(t0) есть касательный вектор к кривой z=z(t) в точке z(t0), указывающий положительное направление. Если z(t) непрерывна и отлична от нуля, то кривая гладкая. Определённым интегралом от комплекснозначной функции действительного переменного z= z(t)= x(t)+ iy(t) называется комплексное число (а to b)z(t)dt= (а to b)x(t)dt+ i(а to b)y(t)dt.

3. Функция комплексного переменого. Предел. Непрерывность.

Отображение : СС называеься функцией комплексного переменного w=(z). Она отображает точки z=x+ iy плоскости (z) в точки w=u+ iv плоскости (w). Если каждая точка z имеет только один образ w=(z), то функция называется однозначной, если несколько образов, то многозначной. Определения предела и непрерывности функции комплексного переменного (z) дословно совпадают с определениями для функции действительного переменного. Поэтому теория пределов и непрерывности переносится и на функции комплексного переменного. Если выделим у функции w=(z) действительную и мнимую части: w=u+ iv= (z)= (x+iy)= u(x,y)+ iv(x,y), то получим, что задание функции комплексного переменного w=(z) равносильно заданию двух действительнозначных функций действительных переменных u= u(x,y), v= v(x,y). Можно доказать, что если (z)= u(x,y)+ iv(x,y), z0=x0+ iv0, то [lim(zz0)(z)= A+ iB] [lim((x,y)(x0,y0))u(x,y)= A & lim((x,y)(x0,y0))v(x,y)= B]. Отсюда следует, что [lim(zz0)(z)= (z0)] [lim((x,y)(x0,y0))u(x,y)= u(x0,y0) & lim((x,y)(x0,y0))v(x,y)= v(x0,y0)], т.е. непрерывность функции комплексного переменного w=(z) в точке z0 равносильна непрерывности её действительной и мнимой частей u(x,y), v(x,y) в точке (x0,y0).

4. Основные элементарные и гиперболические функции.

Экспонента. w= ez= expz= ex(cosy+ isiny). u= Reez= excosy, v= Jmez= exsiny, |ez|= ex= eRez, Argez= y+2k= Jmz+ 2k.

1) ( z1,z2 C) [ez1+z2= ez1ez2], ( zC, nN) [(ez)n= enz, e-z= 1/ez];

2) Экспонента – периодическая функция с чисто мнимым периодом Т= 2i: ez+2i= ezei2= ez(cos2+ isin2)= ez.

3) ( zC) [ez0]: [ez=0] |ez|=0  ex=0, что невозможно.

4) lim(z)ez не существует: lim(z=x-)ez= lim(x-)ex= 0, lim(z=x+)ez= lim(x+)ex= + - разные пределы.

5) [u= excosy c(R2), v=exsinyc(R2)] [w= ezc(C)], при z=x R (y=0) ez совпадает с обычной показательной функцией ex.

Тригонометрические функции.

cosz= (eiz+e-iz)/2, sinz= (eiz-e-iz)/2i, tgz= sinz/cosz, ctg= cosz/sinz.

1) Сохраняются все известные тригонометрические формулы.

2) cosz и sinz имеют период Т=2, tgz и ctgz – период Т=.

3) Нули тригонометрических функций. sinz=0 z=k, cosz=0 z=/2+k, tgz=0 z=k, ctgz=0 z=/2+ k.

4) [eiz, e-iz c(C)] [cosz, sinz c(C)], [cosz, sinz c(C)] [tgz непрерывна при z/2+k, ctgz непрерывна при zk]. При z=x R (y=0) тригонометричекие функции совпадают с особыми тригонометричекими функциями действительного переменного.

Гиперболические функции, их связь с тригономнтрическими функциями.

chz= (ez+e-z)/2, shz= (ez-e-z)/2, thz= shz/chz, cthz= chz/shz.

1) Верны известные свойства:

ch2z- sh2z= 1, ch2z+ sh2z= ch2z, 2shzchz=sh2z, ch(z1+z2)= chz1chz2+ shz1shz2, sh(z1+z2)= shz1ch2+ chz2shz1

2) Из периодичности экспоненты ez (T=2i) следует, что chz, shz имеют тот же период T=2i, thz и cthz имеют преиод T=i.

3) из ez(Незнаю! У Минора написано - самостоятельно)

4) Сравнивая определения cosz и chz, sinz и shz, видим: chiz= cosz, shiz/i= sinz.

Логарифм. w= Lnz – функция, обратная для z=ew. Найдём w=u+ iv, если z=ei, где =argz. [ew=z] [eu+iv= ei] [eueiv= ei] [eu=  & v=+2k] [u=ln, v=+2k] Lnz= ln|z|+ i(argz+2k)= ln|z|+ iArgz.

1) Ln0 не определён (т.к. ln0 и arg0 не определены).

2) w=Lnz – бесконечнозначная функция (из-за 2ki). Главным значением логарифма называется значение lnz= ln|z|+ iargz, это – однозначная функция. Общий логарифм Lnz= lnz+2ki.

3) Верны обычные правила логарифмирования: Ln(z1z2)= Lnz1+ Lnz2, Ln(z1/z2)= Lnz1- Lnz2, Lnzn= nLnz, Lnn(z)= (1/n)Lnz (nN) (равенства с точностью до 2ki). При z=xR, x>0, главный логарифм совпадает с обычным логарифмом числа x: lnz= ln|z|+ iargz= |z=x, argx=0|= ln|x|= lnx.

Комплексная степень комплексного числа.

Для положительных чисел , известно равенство: = |= eln|= eln= exp(ln). Выражение eLn= exp(Ln) имеет смысл для любых компл. чисел 0 и , и его принимают за комплексныю степень  комплексного числа 0: = eLn= exp(Ln). w=z= eaLnz – общая степенная функция (z0). w=az= ezLna – общая показательная функция (а0).
4.1.Производная функции комплексного переменного.

Определение 1. [однозначная функция комплексного переменного w=f(z) дифференцируема в точке z0 (f(z)D{z0})]  [приращение w представимо в виде w =kz+(z)z, где k =a+ib =const, lim(при z0)(z) =0]. Как и для функции одного действительного переменного, можно доказать, что [f(z)D{z0}]  [сущ-ет конечная производная f `(z0) =lim(при z0)w/z], причем оказывается, что k=f `(z0). Можно доказать также, что f(z)D{z0}  f(z)C{z0}.

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексной переменной. [w=f(z) =u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z0 =x0+iy0]  [1) u(x,y), v(x,y)D{(x0, y0)}, 2)ðu/ðx(x0, y0) =ðv/ðy(x0, y0); ðu/ðy(x0, y0) =-ðv/ðx(x0, y0) (условия Коши-Римана)]

[w=f(z)D{z0}] определение 1 [w =kz+(z)z, где k =a+ib=const, (z) =(x, y)+i(x, y)0 при z0  (x, y)(0, 0)]  [w =u+iv =(a+ib)(x+iy)+(+i)(x+iy) =(ax-by+x-y)+i(bx+ay+x+y)]  [u =ax-by+x-y, где a=A1, b=B1, =1, =1; v =bx+ay+x+y, где b=A2, a=B2, =2, =2; где Aj, Bj =const, j(x, y), j(x, y)0 при (x, y)(0, 0)]  [по определению дифференцируемости двух переменных: u(x, y),

v(x, y)D{(x0, y0)}, причем a =ðu/ðx, -b =ðu/ðy, b =ðv/ðx, a =ðv/ðy]  [1) u(x, y), v(x, y)D{(x0, y0)}, 2) ðu/ðx =ðv/ðy, ðu/ðy =-ðv/ðx].

  • [1) u,vD{(x0, y0)}, 2) ðu/ðx =ðv/ðy, ðu/ðy =-ðv/ðx]  [1) u =A1x+B1y+1x+1y, v =A2x+B2y+2x+2y, где A1 =ðu/ðx, B1 =ðu/ðy, A2 =ðv/ðx, B2 =ðv/ðy; j(x, y), j(x, y)0 при (x, y)(0,0); 2) A1 =B2 (обозначим а), A2 =-B1 (обозначим b)]  [u =ax-by+1x+1y, iv =ibx+iay+i2x+i2y]  [w =u+iv =

=(a+bi)x+(-b+ia)y+(1+i2)x+(1+i2)y =(a+ib)x+i(a+ib)y+z[(1+i2)x/z+(1+i2)y/z] = =(a+bi)(x+iy)+(z)z]  [w =kz+(z)z, где k =a+ib =const, (z)0 при z0. Действительно, z0  (x, y)(0,0)  j, j0  1+i2, 1+i20; кроме того, x/z1, y/z1 (т.к. xz, yz). Значит, (z) есть сумма произведений бесконечно малых функций на ограниченные и потому (z)0]  по определению 1  [f(z)D{z0}] 

Из т-мы получаются и формулы для вычисления производной f `(z) по действительной и мнимой частям функции f(z) =u+iv: f `(z) =k =a+ib =a=A1=B2=ðu/ðx=ðv/ðy, b=A2=-B1=ðv/ðx=-ðu/ðy =ðu/ðx+iðv/ðx =ðu/ðx-iðu/ðy =ðv/ðy+iðv/ðx =ðv/ðy-iðu/ðy (1). (f `(z) =u`x+iv`x формально получается как (u+iv)`x). Правила дифференцирования для w=f(z) те же, что и для функции одного действительного переменного (т.к. эти правила получаются из теории пределов, которая сохраняется). Сохраняется и таблица производных. Например, (ez)` =(excosy+iexsiny)`x =excosy+iexsiny =ex(cosy+isiny) =ez; (cosz)` =[1/2(eiz+e-iz)]` =1/2[(eiz)`+(e-iz)`] =1/2(ieiz-ie-iz) =i/2(eiz-e-iz) =i2/(2i)(eiz-e-iz) =-1/(2i)(eiz-e-iz) =-sinz.

  1   2   3   4   5
написать администратору сайта