Главная страница
Навигация по странице:

  • Правило построения графика

  • Экономическая интерпретация непрерывности.

  • Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.

  • Правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

  • Достаточное условие монотонности функции на интервале.

  • Экстремумы функции в точке

  • Необходимое условие экстремума.

  • Достаточное условие экстремума.

  • Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба.

  • Достаточное условие выпуклости.

  • Асимптоты графика функции.

  • решение. Элементарные функции и их графики. Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований


    Скачать 395.39 Kb.
    НазваниеЭлементарные функции и их графики. Построение графиков функции с помощью геометрических преобразований
    Анкоррешение.pdf
    Дата23.08.2017
    Размер395.39 Kb.
    Формат файлаpdf
    Имя файларешение.pdf
    ТипГлава
    #19096
    страница1 из 3
      1   2   3

    Глава 4 Элементарные функции и их графики.
    Построение графиков функции с помощью геометрических
    преобразований.
    Построить график функции
    )
    (x
    f
    y

    =
    по известному графику При одном и том же значении x ординаты точек графиков функций
    )
    (x
    f
    y

    =
    и
    )
    (x
    f
    y
    =
    отличаются лишь знаком. Следовательно, график функции можно получить из графика
    )
    (x
    f
    y
    =
    преобразованием симметрии относительно оси Пример. Построить график
    x
    y
    2

    =
    . Графики вспомогательных функций будем рисовать пунктиром.
    Построить график
    )
    ( x
    f
    y

    =
    по графику Ордината графика функции
    )
    (x
    f
    y
    =
    в точке x равна ординате графика функции
    )
    ( x
    f
    y

    =
    в точке x

    . Это означает, что график функции
    )
    ( x
    f
    y

    =
    можно получить из графика
    )
    (x
    f
    y
    =
    преобразованием симметрии относительно оси Oy Пример. Построить график
    )
    lg( Построить график График
    )
    (
    a
    x
    f
    y

    =
    получается из графика
    )
    (x
    f
    y
    =
    сдвигом на a единиц вправо, а график
    0
    ),
    (
    >
    +
    =
    a
    a
    x
    f
    y
    сдвигом на a единиц влево
    2
    =
    x
    y
    2

    =
    Пример. Построить графики
    2
    )
    2
    (
    +
    =
    x
    y
    и Построить график График
    b
    x
    f
    y
    +
    =
    )
    (
    получается из графика
    )
    (x
    f
    y
    =
    сдвигом на b единиц вверх, а, на b единиц вниз.
    П р им ер. Построить графики
    1 2
    +
    =
    x
    y
    и
    1 Действительно, положим
    a
    x
    x

    =

    ,
    b
    y
    y

    =

    . Тогда формулу
    b
    a
    x
    f
    y
    +

    =
    )
    (
    , или
    )
    (
    a
    x
    f
    b
    y

    =

    можно переписать в виде
    )
    (x
    f
    y

    =

    . Таким образом, график функции
    b
    a
    x
    f
    y
    +

    =
    )
    (
    , построенный в плоскости xy , совпадает с графиком функции
    )
    (x
    f
    y

    =

    , построенном в плоскости Построить график функции
    1
    ,
    0
    ),
    (

    >
    =
    k
    k
    x
    kf
    y
    если задан график Ординаты точек графика функции получаются умножением на соответствующих ординат точек графика функции
    )
    (x
    f
    y
    =
    . Такое преобразование графика функции
    )
    (x
    f
    y
    =
    называется его растяжением от оси x с коэффициентом
    k
    , если
    1
    >
    k
    , и сжатием коси, если
    1 Пример. Построить графики
    2 2x
    y
    =
    и
    2 2
    x
    y
    =
    2 1
    2

    =
    x
    y
    1 2
    +
    =
    x
    y
    (
    )
    2 2

    =
    x
    y
    (
    )
    2 2
    +
    =
    x
    y
    2
    x
    y
    =
    Построить график функции



    <


    =
    0
    )
    (
    ),
    (
    0
    )
    (
    ),
    (
    )
    (
    x
    f
    если
    x
    f
    x
    f
    если
    x
    f
    x
    f
    Правило построения графика
    )
    (x
    f
    y
    =
    . Строим график функции
    )
    (x
    f
    y
    =
    . Затем ту часть графика, которая расположена не ниже оси Ox , оставляем без изменения, ату часть графика, которая расположена ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси.
    П р им ер. Построить график Пример. Построить график Проведем последовательно такие преобразования (сдвинем на 3 единицы вправо (сдвинем на 2 единицы вниз (оставим часть графика, расположенного не ниже оси
    Ox
    , без изменения, а часть графика, расположенного ниже, отобразим симметрично этой оси 2
    2
    x
    y
    =
    2 2x
    y
    =
    2
    x
    y
    =
    x
    y lg
    =
    x
    y
    lg
    =

    4

    5
    Глава 5. Предел функции в точке. Раскрытие неопределенности. Правила раскрытия неопределенностей. Непрерывность функции в точке.
    Пусть функция
    ( )
    x
    f
    y
    =
    задана в некоторой окрестности точки
    , кроме, может быть самой точки
    0
    x Определение. Число A называется пределом функции в точке
    0
    x , если для любого, сколько угодно малого
    0
    >
    ε
    найдется такое положительное число
    0
    >
    δ
    , что для всех x , удовлетворяющих условию
    δ
    <

    <
    0 0
    x
    x
    выполняется неравенство
    ( Обозначается предел так
    ( Если
    0
    x
    x

    и
    0
    x
    x
    <
    , то пишут
    0 0


    x
    x
    , если
    0
    x
    x

    и
    0
    x
    x
    >
    , то пишут
    0 Соответствующие пределы называются соответственно пределами слева (справа) в точке
    0
    x . Для существования двустороннего предела необходимо и достаточно, чтобы существовали оба односторонних предела и совпадали между собой.
    Основные теоремы о пределах. Предел суммы конечного числа функций равен сумме пределов этих функций, те. если существует
    ( )
    ( )
    B
    x
    g
    A
    x
    f
    x
    x
    x
    x
    =
    =


    0 0
    lim
    ,
    lim то
    ( ) ( )
    (
    )
    B
    A
    x
    g
    x
    f
    x
    x
    +
    =
    +

    0
    lim
    2. Если существует
    ( )
    ( )
    B
    x
    g
    A
    x
    f
    x
    x
    x
    x
    =
    =


    0 0
    lim
    ,
    lim
    , то существует предел произведения и равен произведению пределов, те.
    ( ) ( В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, те.
    ( )
    ( )
    x
    f
    c
    x
    cf
    x
    x
    x
    x
    0 0
    lim lim


    =
    3. Если
    ( )
    ( )
    0
    ,
    lim
    ,
    lim
    0 0

    =
    =


    B
    B
    x
    g
    A
    x
    f
    x
    x
    x
    x
    , то предел частного равен частному пределов, те.
    ( )
    ( Определение. Функция
    ( )
    x
    α
    называется бесконечно малой при

    0
    x
    x

    если ее предел равен нулю
    ( Свойства бесконечно малых функций. Сумма (разность) бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Произведение бесконечно-малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция. Произведение бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. Если
    ( )
    x
    α
    есть бесконечно малая, то
    ( )
    x
    α
    1
    есть бесконечно большая.
    О пределен и е . Функция
    ( )
    x
    f
    называется бесконечно большой при

    0
    x
    x

    , если для любого, сколь угодно большого числа
    0
    >
    M
    , найдется такое
    0
    >
    δ
    , что для всех x , удовлетворяющих условию
    δ
    <

    <
    0 0
    x
    x
    верно неравенство
    ( Запись этого факта следующая
    ( )

    =

    x
    f
    x
    x
    0
    lim
    6
    Определение. Две бесконечно - малые функции
    ( )
    x
    α
    и
    ( )
    x
    β
    называются эквивалентными при
    0
    x
    x

    , если
    ( )
    ( Записывается это так
    ( )
    ( Примеры эквивалентных функций Теорема Если )
    ( )
    0 1
    ,


    x
    x
    x
    x

    α
    α
    ,
    ( )
    ( )
    0 то
    ( )
    ( )
    ( )
    ( )
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    1 1
    0 0
    lim Непрерывность функции в точке.

    Пусть функция
    ( )
    x
    f
    y
    =
    определена в окрестности точки , включая саму точку . Функцию назовем непрерывной в точке
    0
    x , если
    ( )
    ( )
    0 Пусть функция
    ( )
    x
    f
    определена в окрестности точки , кроме, может быть самой точки
    0
    x . Точку
    0
    x назовем точкой разрыва если. Функция
    ( )
    x
    f
    не определена в этой точке. Функция
    ( )
    x
    f
    определена в точке
    0
    x , ноне существует предела
    ( )
    x
    f
    x
    x
    0
    lim

    ;
    3. Предел
    ( )
    x
    f
    x
    x
    0
    lim

    существует, но
    ( )
    ( )
    0 Если существуют пределы слева
    ( )
    (
    )
    0
    lim
    0 0
    0

    =


    x
    f
    x
    f
    x
    x
    и справа
    ( )
    (
    )
    0
    lim
    0 0
    0
    +
    =
    +

    x
    f
    x
    f
    x
    x
    , то
    0
    x - точка разрыва города, а разность
    ( )
    (
    )
    (
    )
    0 0
    0 0
    0


    +
    =

    x
    f
    x
    f
    x
    f
    называется
    скачком.
    Если в точке
    0
    x не существует хотя бы один из пределов
    ( )
    x
    f
    x
    x
    0 0
    lim


    или
    ( )
    x
    f
    x
    x
    0 0
    lim
    +

    , то
    0
    x называется точкой разрыва 2 рода.
    П р им еры- точка разрыва функции 2 рода

    2.



    <


    +
    =
    0
    ,
    1 0
    ,
    1
    x
    при
    x
    x
    при
    x
    y
    ( )
    1
    lim
    0 0
    =
    +

    x
    f
    x
    ,
    ( )
    1
    lim
    0 0

    =


    x
    f
    x
    0
    =
    x
    - точка разрыва го рода.
    Свойства функций, непрерывных в точке. Если
    ( )
    x
    f
    и
    ( )
    x
    g
    непрерывны в точке
    , то
    ( )
    x
    Cf
    , где C - константа
    ( ) ( )
    x
    g
    x
    f
    +
    ;
    ( ) ( )
    x
    g
    x
    f

    непрерывны в точке . Если, кроме того, если
    ( )
    0 0

    x
    g
    , то
    ( )
    ( непрерывна в точке
    0
    x .
    2. Если
    ( )
    u
    f
    y
    =
    непрерывна в точке
    0
    u , а
    ( )
    x
    u
    ϕ
    =
    непрерывна в точке , то сложная функция
    ( )
    (
    )
    x
    f
    y
    ϕ
    =
    непрерывна в точке
    0
    x и
    ( )
    (
    )
    ( )
    

    

    =


    x
    f
    x
    f
    x
    x
    x
    x
    ϕ
    ϕ
    0 0
    lim Непрерывность элементарных функций.

    Все основные элементарные функции постоянная, показательная, логарифмическая, степенная, тригонометрические, обратные тригонометрические функции непрерывны на своих областях определения.
    Экономическая интерпретация непрерывности.
    Налоговая ставка
    N
    имеет примерно такой график, как представлен на рисунке.
    Функция разрывна в точках
    i
    Q , имеет разрыв 1 рода.
    Однако сама величина подоходного налога P является непрерывной функцией годового дохода Q .
    x
    y
    0 1


    2
    Q
    Q
    N
    По своему смыслу функция спроса
    ( Д, функция предложения
    ( )
    P
    S
    S
    =
    непрерывно зависят от P . Те. при малых колебаниях цен спроси предложения также изменяются незначительно.
    Первый замечательный предел Второй замечательный предел 1
    lim
    e - число Эйлера, Неперево число,

    5905 Число
    n
    n
    n
    e





     +
    =


    1 1
    lim
    . Другая запись второго замечательного предела Примеры раскрытия неопределенно ст ей .
    1.







    >

    <
    =
    =






    +
    +
    +






    +
    +
    +
    =








    =
    +
    +
    +
    +
    +
    +






    m
    n
    если
    m
    n
    если
    m
    n
    если
    b
    a
    x
    b
    x
    b
    b
    x
    x
    a
    x
    a
    a
    x
    b
    x
    b
    x
    b
    a
    x
    a
    x
    a
    m
    m
    m
    n
    n
    n
    x
    m
    m
    m
    n
    n
    n
    x
    ,
    ,
    0
    ,
    lim lim
    0 0
    1 0
    1 0
    1 1
    0 1
    1 0




    2.
    3 1
    2 3
    1 2
    1
    lim
    2 3
    1 2
    lim
    3 3
    3 2
    3 3
    3
    =





     −






    +
    +
    =

    +
    +




    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    3.






    =

    +

    +

    0 0
    5 3
    2 4
    3
    lim
    2 2
    1
    x
    x
    x
    x
    x
    ; Разложим на множители квадратные трехчлены в числителе ив знаменателе.
    и
    2
    Q
    P
    Q






    =
    ±

    =
    +
    ±

    =
    =

    +
    3 4
    1 6
    7 1
    6 48 1
    1
    ,
    0 4
    3 2
    ,
    1 2
    x
    x
    x
    ,
    (
    )
    (
    )
    (
    ) (
    )
    4 3
    1 3
    4 1
    3 4
    3 2
    +


    =
    +


    =

    +
    x
    x
    x
    x
    x
    x





    =
    ±

    =
    +
    ±

    =
    =

    +
    2 5
    1 4
    7 3
    4 40 9
    3
    ,
    0 5
    3 2
    2
    ,
    1 2
    x
    x
    x
    ,
    (
    )
    (
    )
    (
    ) (
    )
    5 2
    1 2
    5 1
    2 5
    3 Тогда
    (
    ) (
    )
    (
    ) (
    )
    1 7
    7 5
    2 1
    4 3
    1
    lim
    5 3
    2 4
    3
    lim
    1 2
    2 1
    =
    =
    +


    +


    =

    +

    +


    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    4.
    ;
    0 0
    1
    lim
    2 1






    =



    x
    x
    x
    x
    Делим и умножаем на выражения, сопряженные к числителю и знаменателю.
    (
    ) (
    ) (
    )
    (
    ) (
    ) (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    =
    +


    +


    =
    +

    +


    +

    +


    =





    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    2 4
    1 2
    2 2
    1 2
    1 1
    1
    lim
    1 1
    1
    lim
    1
    lim
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    3 1
    1 1
    1
    lim
    2 2
    1
    =
    +


    +

    +
    +




    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    5.
    (
    ) (
    ) (
    )
    (
    ) (
    ) (
    )
    =
    +
    +

    +
    +


    +
    +
    +

    +
    +


    +
    =






    =

    +

    +


    1 1
    4 16 4
    16 4
    16 1
    1 1
    1
    lim
    0 0
    4 16 1
    1
    lim
    2 2
    2 2
    2 2
    0 2
    2 0
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    (
    )
    (
    )
    4 1
    1 4
    16
    lim
    2 2
    2 2
    0
    =
    +
    +

    +
    +

    =

    x
    x
    x
    x
    x
    6.
    ;
    0 0
    1 1
    lim
    3 0






    =

    +

    x
    x
    x
    Делим и умножаем на неполный квадрат суммы, чтобы получить в
    числителе разность кубов.
    (
    )
    =
    

    

    +
    +
    +
    +


    +
    =

    +


    1 1
    1 1
    1
    lim
    1 1
    lim
    3 3
    2 0
    3 0
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    (
    )
    3 1
    1 1
    1 1
    lim
    3 3
    2 0
    =
    +
    +
    +
    +
    =

    x
    x
    x
    7.
    [
    ]
    8 8
    lim
    0 8

    4
    cos
    1 0
    0 4
    cos
    1
    lim
    2 2
    0 2
    2 при lim
    0

    sin
    0

    sin
    0 0
    sin sin lim
    0 5
    6 0
    6 6
    5 6
    0
    =
    =
    =








    =






    =



    x
    x
    x
    x
    при
    x
    x
    x
    при
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    9.
    (
    )
    (
    )
    (
    ) (
    )
    =

    +
    +

    +
    +



    +
    =



    =


    +




    1 1
    1 1
    1 1
    lim
    1 1
    lim
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    0 1
    1 2
    lim
    2 2
    =

    +
    +


    x
    x
    x

    x
    x

    +
    0
    x

    касательная
    y

    x
    секущая
    ( )
    x
    f
    y
    =
    ( )
    0
    x
    f
    k
    tg

    =
    =
    ϕ
    10.
    (
    )
    (
    )
    =

    =








    =








    =











    =

    =

    =






    2
    lim
    2 2
    lim
    1 2
    lim
    1 0
    1 2
    1
    lim
    0 0
    0 1
    y
    ctg
    y
    y
    tg
    y
    y
    tg
    y
    y
    x
    y
    y
    x
    x
    tg
    x
    y
    y
    y
    x
    π
    π
    π
    π
    π
    π
    π
    π
    π
    π
    2 2
    lim
    0 2

    2 2
    lim
    0 при )
    (
    )
    3 1
    3
    lim
    1 3
    1 3
    1 1
    1
    lim
    1 Глава 6. Производная функции в точке.

    О пределен и е . Если существует
    x
    y
    x




    0
    lim
    , то он называется производной в точке

    0
    x и обозначается либо y

    , либо
    ( )
    0
    x
    f

    , либо
    dx
    dy
    , т.е.
    x
    y
    y
    x


    =



    0
    lim
    Здесь
    0
    x
    x
    x

    =

    - приращение аргумента в точке
    0
    x ,
    (
    )
    ( )
    0 0
    x
    f
    x
    x
    f
    y


    +
    =

    - приращение функции в точке Геометрически производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции
    ( )
    x
    f
    y
    =
    в точке
    0
    x . (см. рисунок)
    Отметим, что если функция в точке
    0
    x имеет производную, то она непрерывна в этой точке.
    Уравнение касательной к графику функции
    ( )
    x
    f
    y
    =
    в точке с абсциссой
    0
    x :
    ( )
    ( ) (
    )
    0 Таблица производных )
    0
    =

    C
    ;
    2.
    ( )
    1

    =

    α
    α
    α
    x
    x
    ;
    3.
    ( )
    x
    x
    e
    e
    =

    ;
    4.
    ( )
    a
    a
    a
    x
    x
    ln
    =

    ;
    5.
    ( )
    0
    ,
    1
    ln
    >
    =

    x
    x
    x
    ;
    6.
    (
    )
    0
    ,
    ln
    1
    log
    >
    =

    x
    a
    x
    x
    a
    ;

    7.
    (
    )
    x
    x
    cos sin
    =

    ;
    8.
    (
    )
    x
    x
    sin cos

    =

    ;
    9.
    ( )
    x
    tgx
    2
    cos
    1
    =

    ;
    10.
    (
    )
    x
    ctgx
    2
    sin
    1

    =

    ;
    11.
    (
    )
    2 1
    1
    arcsin
    x
    x

    =

    ;
    12.
    (
    )
    2 1
    1
    arccos
    x
    x


    =

    ;
    13.
    (
    )
    2 1
    1
    x
    arctgx
    +
    =

    ;
    14.
    (
    )
    2 1
    1
    x
    arcctgx
    +

    =

    ;
    15.
    ( )
    chx
    shx
    =

    ;
    16.
    ( )
    shx
    chx
    =

    shx - синус гиперболический,
    2
    x
    x
    e
    e
    shx


    =
    chx
    - косинус гиперболический,
    2
    x
    x
    e
    e
    chx

    +
    =
    Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.
    Функция
    ( )
    x
    f
    y
    =
    называется дифференцируемой в точке x , если ее приращение в этой точке можно представить в виде
    ( )
    x
    x
    x
    A
    y

    +

    =

    α
    , где A - константа,
    ( )
    x
    α
    - бесконечно малая функция при Линейная часть приращения функции называется дифференциалом и обозначается dy Теорема Необходимыми достаточным условием дифференцируемости функции в точке является существование ее производной в этой точке.
    Таким образом,
    dx
    y
    dy

    =
    , если y

    существует.
    Правила дифференцирования суммы, произведения, частного.
    Пусть функции
    ( )
    x
    v
    и
    ( )
    x
    u
    дифференцируемы в точке x . Тогда сумма (разность, произведение и частное этих функций (при условии
    ( )
    0

    x
    v
    ) дифференцируемы в этой точке и справедливы следующие формулы:
    1.
    (
    )
    v
    u
    v
    u

    ±

    =

    ±
    ;
    2.
    (
    )
    v
    u
    v
    u
    v
    u

    +

    =


    ;
    3.
    2
    v
    v
    u
    v
    u
    v
    u



    =







    П р им еры. Применим правило дифференцирования произведения
    ( )
    (
    )
    2 1 x
    e
    arctgx
    e
    arctgx
    e
    arctgx
    e
    y
    x
    x
    x
    x
    +
    +
    =


    +


    =

    2.
    x
    x
    y
    ln cos
    =
    . Применим правило дифференцирования частного
    (
    )
    ( )
    ( )
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    y
    2 2
    ln cos ln sin ln ln cos ln cos



    =





    =


    3.
    x
    x
    x
    x
    y
    ln ln
    +

    =
    . Имеем
    (
    )
    ( )
    ( )
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    y
    2 2
    ln
    1
    ln
    1
    ln ln ln ln ln ln ln ln

    +
    +
    =



    ⋅′
    +


    +
    ⋅′
    =







    +


    =

    4.
    x
    x
    x
    x
    x
    y
    2
    arcsin cos
    2

    +

    =
    (
    )
    (
    ) (
    )
    (
    )
    =




    +





    +

    =

    2 2
    2 2
    2
    arcsin cos
    2
    arcsin cos
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    y
    ( )
    (
    ) (
    )
    (
    )
    ( )
    ( )
    =










    +



    +











    +


    +


    =

    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    y
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    arcsin cos
    2
    arcsin cos cos
    (
    ) (
    )
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    y
    2 2
    2 2
    2 2
    2
    ln
    2 2
    arcsin cos
    2 1
    1
    sin cos
    2


    +

    +













    +



    =

    5.
    ctgx
    x
    x
    x
    x
    y

    +
    +
    +
    =
    3 7
    4 2
    1
    . Перепишем функцию в виде
    ctgx
    x
    x
    x
    x
    y

    +
    +
    +
    =


    3 1
    2 1
    7 1
    4 2
    1
    . Воспользуемся правилами нахождения производной произведения и суммы
    +






     −

    +
    =



    2 3
    7 6
    2 1
    2 1
    7 1
    x
    x
    y
    ( )
    ( )
    (
    )
    x
    x
    ctgx
    x
    x
    x
    x
    ctgx
    x
    ctgx
    x
    x
    2 3
    2 2
    3 7
    6 3
    3 2
    sin
    3 4
    4 1
    7 1
    1 Производная сложной функции.

    Пусть функция
    ( )
    z
    f
    y
    =
    имеет производную в точке
    0
    z , а функция
    ( )
    x
    z
    ϕ
    =
    имеет производную в точке
    , причем
    ( )
    0 0
    x
    z
    ϕ
    =
    . Тогда сложная функция
    ( )
    (
    )
    x
    f
    ϕ
    имеет производную в точке
    0
    x и справедлива формула Пример. Найти производную функции Эту функцию можно рассмотреть как суперпозицию двух функций Тогда по формуле
    4 2
    3 3
    2
    cos
    4 Аналогичное правило справедливо для суперпозиции трех и большего конечного числа функций.
    П р им ер. Здесь
    x
    v
    v
    z
    z
    y
    =
    =
    =
    ;
    arcsin
    ;
    ln
    ( )
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    y



    =



    =

    1
    arcsin
    2 1
    2 1
    1 1
    arcsin
    1 2
    Логарифмическая производная.
    Рассмотрим показательно-степенную функцию
    ( )
    ( )
    x
    v
    x
    u
    y
    =
    , где
    ( ) ( )
    x
    v
    x
    u
    ,
    - дифференцируемые функции. Прологарифмируем обе части уравнения )
    ( )
    ( )
    (
    )
    ( ) ( )
    ( )
    (
    )
    x
    u
    x
    v
    x
    y
    x
    u
    x
    y
    x
    v
    ln ln
    ;
    ln Продифференцируем обе части попеременной Отсюда получим формулу
    ( ) ( )
    

    



    +


    =

    u
    u
    v
    u
    v
    x
    y
    x
    y
    ln
    , или, т.к. Пример Пример Применение логарифмической производной.
    Пусть
    ( )
    t
    k
    k
    =
    - приближенная величина вклада в момент времени t . Можно ли определить (приближенно) ставку банковского процента r по функции
    ( )
    t
    k
    . Если % начисляются один раз за период времени t

    , то проценты за период составят
    t
    kr

    , считаем, что r - номинальная ставка за год,
    t

    - доля года. Так как приращение вклада и проценты по вкладам одно и тоже, то Пусть
    ( )
    t
    k
    имеет производную Ставка банковского процента совпадает с логарифмической производной от величины вклада.
    П р им ер. Пусть
    ( )
    (
    )
    5
    ,
    1 0
    1
    +
    =
    t
    k
    t
    k
    , где
    0
    k - величина вклада в начальный момент времени
    0
    =
    t
    ; t - число лет от открытия вклада.
    Можно определить, как изменялась ставка %
    ( )
    t
    r
    r
    =

    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    1 5
    ,
    1 1
    ln
    5
    ,
    1
    ln
    1
    ln
    0 5
    ,
    1 0
    +
    =

    +
    +
    =

    +

    t
    t
    k
    t
    k
    r
    . Или в процентах
    (
    )
    1 1
    150

    +


    t
    r

    . Так, через два года после открытия вклада ставка была
    %
    50

    годовых, через 5 лет уменьшилась дои т.д.
    Отметим, что абсолютная скорость роста вклада при этом не убывала, а возрастала, те.
    1 5
    ,
    1 Производные высших порядков.
    Второй производной от функции
    ( )
    x
    f
    называется производная от ее первой производной. И обозначается вторая производная y
    ′′
    или
    ( Третьей производной называется производная от второй производной, и т.д.
    Производная n порядка – производная от
    1

    n
    производной )
    ( )
    (
    )
    ( Примеры. Найти y
    ′′

    x
    y
    1
    =

    ;
    2 1
    x
    y

    =
    ′′
    ;.
    3 2
    x
    y
    =
    ′′

    2.
    x
    y sin
    =
    . Найти
    ( )
    n
    y .





     +
    =
    =

    2
    sin cos
    π
    x
    x
    y
    ;
    (
    )







    +
    =
    +
    =

    =
    ′′
    2 2
    sin sin Можно доказать методом математической индукции Применение производной в экономике.
    Функция спроса – зависимость спроса D на некоторый товар от его цены Производная отдает приблизительно увеличение спроса при увеличении цены на одну единицу
    Функция предложения – зависимость предложения S некоторого товара от цены на него P Функция полезности – субъективная числовая оценка данным индивидом полезности и количества x товара для него.
    Правила Лопиталя.
    Правила Лопиталя позволяет раскрыть неопределенности вида






    0 0
    или Теорема Если
    ( )
    x
    f
    и
    ( )
    x
    g
    определены и дифференцируемые в окрестности точки
    a
    x
    =
    , за исключением, быть может, самой точки a ,
    ( )
    ( )
    0
    lim
    ,
    0
    lim
    =
    =


    x
    g
    x
    f
    a
    x
    a
    x
    ,
    ( )
    0

    x
    g
    ,
    ( )
    0


    x
    g
    в этой окрестности. Если существует
    ( )
    (
    )
    ( )
    (
    )



    x
    g
    x
    f
    a
    x
    lim
    , то существует
    ( )
    ( )
    x
    g
    x
    f
    a
    x

    lim и имеет место равенство
    ( )
    ( )
    ( )
    (
    )
    ( )
    (
    )


    =


    x
    g
    x
    f
    x
    g
    x
    f
    a
    x
    a
    x
    lim Теорема Пусть
    ( )
    x
    f
    и
    ( )
    x
    g
    определены и дифференцируемы в окрестности точки
    a
    x
    =
    ,
    ( )
    ( )
    ( )
    0
    ,
    lim lim



    =
    =


    x
    g
    x
    g
    x
    f
    a
    x
    a
    x
    в этой окрестности. Если существует
    ( )
    (
    )
    ( )
    (
    )



    x
    g
    x
    f
    a
    x
    lim
    , то существует
    ( )
    ( )
    x
    g
    x
    f
    a
    x

    lim и имеет место равенство
    ( )
    ( )
    ( )
    (
    )
    ( )
    (
    )


    =


    x
    g
    x
    f
    x
    g
    x
    f
    a
    x
    a
    x
    lim Правила Лопиталя можно применять несколько раз.
    П р им еры 10 6
    2 6
    lim
    8 10 3
    8 2
    3
    lim
    2 2
    2 2
    =


    =


    =

    +




    =


    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    P
    S
    x
    u

    2.
    (
    )
    (
    )
    6 1
    36 6
    lim
    6 18 2
    3
    lim
    2 3
    6 1
    2
    lim
    2 3
    6 1
    2
    lim
    2 2
    2 3
    3 2
    3 3
    =
    =








    =

    +
    =

    +


    +
    +
    =








    =
    +

    +
    +








    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    3.
    ( )
    ( )

    =

    =


    =








    =






    x
    x
    e
    x
    e
    x
    e
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    2 2
    lim lim lim
    2 2
    2 2
    2
    Упражнение.
    Функция полезности должна удовлетворять двум условиям ее первая производная должна быть положительной, а вторая – отрицательной.
    Содержательный смысл товар желателен, большее его количество обладает и большей ценностью полезностью однако с ростом количества потребляемого товара его рост полезности уменьшается. Убедиться в том, что функции удовлетворяют этим условиям 1
    >
    >
    =

    x
    x
    y
    0 1
    2
    <

    =
    ′′
    x
    y
    b)
    0 2
    1
    >
    =

    x
    y
    0 4
    1 Глава 7. Общие свойства функций. Исследование и построение графика функции с использованием производной.
    Четность и нечетность.
    О пределен и е : Функция называется четной, если для любого x из области определения функции
    ( )
    f
    D
    x

    тоже принадлежит области определения и
    ( )
    ( Пример- четная функция.
    О пределен и е . Функция называется нечетной, если для любого x из области определения функции x

    тоже принадлежит области определения и
    ( )
    ( Пример Пример
    3
    x
    y
    =
    - нечетная функция.
    График четной функции симметричен относительно оси Oy , график нечетной – относительно начала координат.
    Периодичность.
    О пределен и е . Функция
    ( )
    x
    f
    y
    =
    называется периодичной, если существует такое число
    0
    ,

    T
    T
    , что для любого значения x , взятого из области определения, значения
    T
    x
    +
    и
    T
    x

    также принадлежат области определения и выполняется равенство )
    (
    )
    T
    x
    f
    x
    f
    +
    =
    Число T называется периодом функции.
    П р им ер- периодичная функция с периодом
    π
    2 Нули функции.

    О пределен и е . Нулем функции называется такое число x , при котором
    ( Пример- имеет нули в точках
    2
    ,
    2
    ,
    0 3
    2 Монотонность (возрастание, убывание функции).

    О пределен и е . Функция
    ( )
    x
    f
    y
    =
    называется монотонно неубывающей на интервале
    (
    )
    b
    a,
    , если из того, что
    1 2
    x
    x
    >
    следуют, что
    ( )
    ( )
    1 2
    x
    f
    x
    f

    . Если
    ( )
    ( )
    1 2
    x
    f
    x
    f
    >
    , то возрастающей.
    О пределен и е . Функция
    ( )
    x
    f
    y
    =
    называется монотонно невозрастающей на интервале
    (
    )
    b
    a,
    , если из того, что
    1 2
    x
    x
    >
    следуют, что
    ( )
    ( )
    1 2
    x
    f
    x
    f

    . Если,
    ( )
    ( )
    1 2
    x
    f
    x
    f
    <
    то убывающей.
    Достаточное условие монотонности функции на интервале.
    Если
    ( )
    0
    >

    x
    f
    для всех x из интервала
    (
    )
    b
    a,
    , то
    ( )
    x
    f
    - монотонно возрастает на нем.
    Если
    ( )
    0
    <

    x
    f
    для всех x из интервала
    (
    )
    b
    a,
    , то
    ( )
    x
    f
    - убывает на нем.
    Если
    ( )
    0
    =

    x
    f
    для всех x из интервала
    (
    )
    b
    a,
    , тона нем.
    П р им еры- монотонно возрастает 1
    log
    =
    - монотонно убывает
    2
    =
    x
    y
    x
    y
    2 1
    log
    =
    π
    2
    =
    T

    4.
    1
    =
    y
    (постоянна) монотонная
    Экстремумы функции в точке
    О пределен и е . Точка
    0
    x называется точкой строгого локального максимума минимума) функции
    ( )
    x
    f
    , если для всех x из некоторой окрестности точки
    0
    x выполняется неравенство
    ( )
    ( )
    0
    x
    f
    x
    f
    <
    (или
    ( )
    ( )
    0
    x
    f
    x
    f
    >
    ) при Токи локального максимума и локального минимума функции называются точками экстремума.
    Необходимое условие экстремума.
    Если функция
    ( )
    x
    f
    в точке
    достигает экстремума, то производная
    ( )
    x
    f

    либо равна
    0, либо не существует. Точки в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.
    Достаточное условие экстремума.
    Пусть функция
    ( )
    x
    f
    y
    =
    определена и непрерывна в некоторой окрестности точки
    0
    x , включая саму эту точку, и производная
    ( )
    x
    f

    существует в окрестности этой точки, за исключением, быть может, самой точки
    0
    x . Тогда если при переходе через точку
    0
    x
    ( )
    x
    f

    меняет знак сна, то
    0
    x - точка максимум, если сна, то
    0
    x - точка минимум.
    П р им ер. Найти точки экстремума следующей функции
    2 12 4
    3 2
    3 4
    +


    =
    x
    x
    x
    y
    x
    x
    x
    y
    24 12 12 2
    3


    =

    ;
    0
    =

    y
    (
    )
    0 2
    12 2
    =


    x
    x
    x
    




    =
    =
    =
    1 2
    0 3
    2 1
    x
    x
    x
    — точки возможного экстремума.
    Точка
    1

    =
    x
    — точка минимума — точка максимума Знак Поведение

    2
    =
    x
    — точка минимума.
    О т в е т : Точки
    1

    =
    x
    ,
    2
    =
    x
    - точки минимума,
    0
    =
    x
    - точка максимума.
    Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба.
    Говорят, что функция
    ( )
    x
    f
    y
    =
    выпукла вверх, в точке
    0
    x , если существует окрестность точки
    0
    x такая, что для всех x из этой окрестности касательная к графику функции в точке
    (
    )
    0 0
    0
    , y
    x
    M
    лежит не ниже графика.
    Говорят, что функция
    ( )
    x
    f
    y
    =
    выпукла вниз, в точке
    0
    x , если существует окрестность точки
    0
    x такая, что для всех x из этой окрестности касательная к графику функции в точке
    (
    )
    0 0
    0
    , y
    x
    M
    лежит не выше графика.
    Если на интервале
    (
    )
    b
    a,
    все касательные к графику функции лежат не ниже (не выше) самого графика, то функция выпукла вверх (вниз) на всем интервале.
    О пределен и е . Точка
    (
    )
    0 0
    0
    , y
    x
    M
    графика называется точкой перегиба графика функции, если существует такая окрестность точки
    0
    x , в пределах которой слева и справа от
    0
    x график имеет разные направления выпуклости - точка перегиба графика функции.
    Достаточное условие выпуклости.
    Если вторая производная
    ( )
    x
    f
    ′′
    существует на интервале
    (
    )
    b
    a,
    и
    ( )
    0
    >
    ′′
    x
    f
    , то функция вогнута на интервале
    (
    )
    b
    a,
    , если
    ( )
    0
    <
    ′′
    x
    f
    , то функция выпукла на интервале
    (
    )
    b
    a,
    . (правило «дождя»).
    Это правило символически означает, что если кривая выпукла, то капли дождя стекают с нее (-), если вогнута, то дождь заполняет ее (Достаточный признак существования точек перегиба 0
    x
    0
    M
    x
    y
    0
    x
    0
    M
    x
    y
    ( )
    x
    f
    y
    =
    0
    x
    0
    M
    x
    0
    y
    Пусть
    ( )
    x
    f
    y
    =
    определена и непрерывна в окрестности точки
    0
    x , включая саму точку, и вторая производная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда если
    ( при
    0
    x
    x
    <
    и
    ( )
    0
    >
    ′′
    x
    f
    при
    0
    x
    x
    >
    , или
    ( )
    0
    >
    ′′
    x
    f
    при
    0
    x
    x
    <
    и
    ( )
    0
    <
    ′′
    x
    f
    при
    0
    x
    x
    >
    , то
    0
    x - точка перегиба.
    П р им ер Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции
    x
    x
    y
    3 3

    =
    ( )
    3 3
    2

    =

    x
    x
    f
    ;
    ( Точка, подозрительная на перегиб, это точка При
    ( )
    0
    ,
    0
    >
    ′′
    >
    x
    f
    x
    и функция вогнута.
    При
    ( )
    0
    ,
    0
    <
    ′′
    <
    x
    f
    x
    и функция выпукла.
    Асимптоты графика функции.
    О пределен и е . Если расстояние от точки M графика функции
    ( )
    x
    f
    y
    =
    до некоторой прямой стремится к нулю при
    ± ∞

    x
    (неограниченном удалении точки M от начала координат, то эта прямая называется наклонной асимптотой.
    Если
    ( )
    x
    f
    x
    x
    0 0
    lim
    +

    или
    ( )
    x
    f
    x
    x
    0 0
    lim


    равен бесконечности, то
    0
    x
    x
    =
    - вертикальная асимптота графика функции.
    Прямая
    b
    kx
    y
    +
    =
    является наклонной асимптотой графика функции, если
    ( )
    ( )
    (
    )
    kx
    x
    f
    b
    x
    x
    f
    k
    x
    x

    =
    =
    ± ∞

    ± Если же эти условия выполняются только при
    + ∞

    x
    или
    − ∞

    x
    , то прямая
    b
    kx
    y
    +
    =
    является наклонной асимптотой соответствующей части графика функции
    ( Если
    0
    =
    k
    , то асимптота графика функции называется горизонтальной.
    П р им ер Прямая
    x
    y
    =
    является наклонной асимптотой графика функции Схема исследования функций при построении графиков. Найти область определения. Рассмотреть вопрос о четности (нечетности, периодичности. Найти нули функции и интервалы ее знакопостоянства.
    4. Найти асимптоты. Исследовать функцию на экстремум, определить интервалы ее монотонности. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.
    Полезно каждый этап исследования функции поданной схеме сопровождать соответствующим построением.
    П р им ер Построить график функции
    x
    x
    y
    3 3

    =
    1. Область определения - вся числовая ось+ ∞
    =

    + ∞

    x
    x
    x
    3
    lim
    3
    ,
    (
    )
    − ∞
    =

    − ∞

    x
    x
    x
    3
    lim
    3 2. Функция нечетная, непериодическая. Функция имеет три нуля
    Знак Поведение и 3
    2 Решаем неравенство
    (
    )
    (
    ) (
    )
    0 3
    3 0
    3 Функция положительна на интервалах
    (
    ) (
    )

    +

    ;
    3 0
    ;
    3

    и отрицательна на интервалах
    (
    ) (
    )
    3
    ;
    0 3
    ;




    4.
    ( )


    =
    =
    ± ∞

    x
    x
    f
    k
    x
    lim
    Наклонных асимптот нет. Точек разрыва нет, следовательно, нет и вертикальных асимптот. Найдем производную 3
    2

    =

    x
    y
    ;
    (
    )
    1
    ,
    1
    ,
    0 1
    3
    ,
    0 2
    1 2

    =
    =
    =


    =

    x
    x
    x
    y
    - стационарные точки. Решаем неравенства
    0
    >

    y
    и
    0
    <

    y
    (
    ) (
    )
    1 На интервалах
    (
    ) (
    )

    +



    ;
    1 1
    ;

    функция возрастает, на интервале
    (
    )
    1
    ;
    1

    функция убывает.
    Находим значения функции в экстремальных точках
    ( )
    ( )
    2 1
    ;
    2 1
    =


    =
    y
    y
    6. Находим вторую производную Решаем неравенства
    0
    >
    ′′
    y
    и
    0
    <
    ′′
    y
    0
    =
    x
    - точка перегиба.
    Рисуем график 55 Поведение Знак

    +
    Пример Построить график функции
    x
    x
    y

    +
    =
    3 1
    2 1. Область определения
    (
    ) (
    )

    +



    ;
    3 3
    ;

    x
    3
    =
    x
    - точка разрыва ∞
    =

    +
    +

    x
    x
    x
    3 1
    2
    lim
    0 3
    ,
    + ∞
    =

    +


    x
    x
    x
    3 1
    2
    lim
    0 3
    2. Функция не является ни четная, ни нечетной, непериодическая. Функция обращается в ноль в точке
    2 Для нахождения интервалов знакопостоянства решаем неравенства
    0
    >
    y
    и Решаем методом интервалов.
    Функция положительна на интервале





     −
    3
    ;
    2 1
    и отрицательна на интервалах
    (
    )

    +









    ;
    3 2
    1
    ;

    4. Находим наклонную асимптоту )
    (
    )
    0 2
    2
    lim
    3 1
    2
    lim lim
    =

    =








    =


    +
    =
    =
    ± ∞

    ± ∞

    ± ∞

    x
    x
    x
    x
    x
    x
    f
    k
    x
    x
    x
    ( )
    (
    )
    2 3
    1 2
    lim lim

    =








    =

    +
    =

    =
    ± ∞

    ± ∞

    x
    x
    kx
    x
    f
    b
    x
    x
    2

    =
    y
    горизонтальная асимптота. Найдем производную) (
    ) ( )
    (
    )
    (
    )
    2 2
    3 7
    3 1
    1 2
    3 2
    3 1
    2
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    y

    =



    +



    =








    +
    =

    . Производная положительна всюду, где функция определена, те. она монотонно возрастает на интервалах
    (
    ) (
    )

    +


    ;
    3 3
    ;

    , экстремумов нет 55 3

    +

    x
    Знак Поведение. Находим вторую производную
    (
    )
    (
    )
    ( ) (
    ) ( )
    (
    )
    3 3
    2 3
    14 1
    3 2
    7 Вторая производная нигде в ноль не обращается. Точек перегиба нет при
    3
    <
    x
    ,
    0
    <
    ′′
    y
    при
    3
    >
    x
    . То есть на интервале
    (
    )
    3
    ;


    функция вогнута, на интервале
    (
    )

    +
    ;
    3
    выпукла.
    Изобразим график функции:
    П р им ер Построить график функции
    2 2
    (
    1)
    2
    x
    y
    x
    x
    +
    =
    +
    1. Знаменатель обращается в ноль в точках
    0,
    2
    x
    x
    =
    = −
    . Область определения
    (
    ) (
    ) (
    )
    ; 2 2; 0 О. Прямые
    0
    x
    =
    и
    2
    x
    = −
    - вертикальные асимптоты 2
    0 0 1
    lim
    2
    x
    x
    x
    x
    → +
    +
    = +
    Ґ
    +
    ,
    (
    )
    2 2
    0 0 1
    lim
    2
    x
    x
    x
    x
    → −
    +
    = −
    Ґ
    +
    ,
    (
    )
    2 2
    2 0 1
    lim
    2
    x
    x
    x
    x
    → − +
    +
    = −
    Ґ
    +
    ,
    (
    )
    2 2
    2 0 1
    lim
    2
    x
    x
    x
    x
    → − −
    +
    = +
    Ґ
    +
    2. Функция четностью, нечетностью не обладает. Нули функции
    0
    y
    =
    , если
    1
    x
    = −
    4. Найдем наклонные (горизонтальные) асимптоты )
    (
    )
    (
    )
    2 2
    1
    lim lim
    0 2
    x
    x
    f x
    x
    k
    x
    x x
    x
    → ±
    → Ч )
    (
    )
    ( )
    (
    )
    2 2
    1
    lim lim lim
    1 2
    x
    x
    x
    x
    b
    f x
    kx
    f x
    x
    x
    → ±
    → ±
    → ±
    Ґ
    Ґ
    Ґ
    +
    =

    =
    =
    =
    +
    1
    y
    =
    горизонтальная асимптота. Найдем экстремумы, промежутки возрастания, убывания) (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 2
    2 1
    2 1
    2 2
    2 2
    2 2
    1 1
    2 2
    2
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x ж ц
    +
    +

    +
    +
    +
    +



    Ч
    Ч
    Ч
    Ч
    +
    ў
    =
    =
    =
    =
    з ч
    з ч
    +
    +
    +
    и ш 2
    2 в точке
    1
    x
    = −
    57
    -2
    -1 0
    На интервале (
    ; 2) ( 2; 1)


    − функция возрастает, на интервалах
    ( 1; 0) (0;
    )

    +
    Ґ
    U
    функция убывает. В точке с абсциссой
    1
    x
    = −
    функция имеет максимум ( 1) 0
    y
    − =
    6. Находим вторую производную
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    2 2
    2 2
    2 4
    3 2
    2 2
    2 2
    1 2 2
    2 2
    ( 2)
    2 4
    8 1
    2 1
    ( 2)
    (
    2 )
    2 Ч Ч
    Ч

    +
    ж ц −
    =
    =
    Ч
    з ч
    +
    +
    +
    и ш 2
    3 3
    2 2
    ( 2) 3 6
    4 2 3 6
    4 Вторая производная нигде в ноль не обращается. Точек перегиба нет при
    (
    ) (
    )
    ; 2 О график вогнутый при
    (
    )
    2; О график выпуклый.
    Изобразим график функции:
      1   2   3
    написать администратору сайта