Главная страница
Навигация по странице:

  • КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «Планирование эксперимента и математическая статистика»

  • СОДЕРЖАНИЕ Введение. Лекция 1. Классификация ошибок измерения. Лекция 2. Распределение случайных ошибок измерения.

  • Лекция 6. Сравнение средних значений. Лекция 7. Оценки точности измерений. Лекция 8. Сравнение дисперсий. Лекция 9. Проверка нормальности распределения.

  • Лекция 10. Основные понятия планирования эксперимента. Лекция 11. Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента.

  • Лекция 14. Планы для квадратичных моделей. Лекция Введение.

  • Лекция 1 Классификация ошибок измерения.

  • Лекция 2 Распределение случайных ошибок измерения.

  • Нормальный закон распределения.

  • лекции _ПЭиМС.. Конспект лекций учебной дисциплины Планирование эксперимента и математическая статистика для специальности 150109


    Скачать 0.55 Mb.
    НазваниеКонспект лекций учебной дисциплины Планирование эксперимента и математическая статистика для специальности 150109
    Анкорлекции _ПЭиМС..docx
    Дата03.07.2017
    Размер0.55 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлалекции _ПЭиМС..docx
    ТипКонспект
    #12106
    страница1 из 12
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12

    Министерство образования и науки Российской Федерации
    Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

    высшего профессионального образования
    «Сибирский государственный индустриальный университет»

    Кафедра техногенных и вторичных ресурсов

    УТВЕРЖДАЮ

    Зав. кафедрой техногенных и

    вторичных ресурсов

    проф., д.т.н.

    ___________ Е.П. Волынкина «___»______ 2012 г


    КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

    УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
    «Планирование эксперимента и математическая статистика»
    для специальности 150109

    «Металлургия техногенных и вторичных ресурсов»
    Составил:

    доцент, к.т.н. Л.А. Самигулина


    Новокузнецк

    2012

    СОДЕРЖАНИЕ

    Введение.
    Лекция 1. Классификация ошибок измерения.
    Лекция 2. Распределение случайных ошибок измерения.
    Лекция 3. Методы исключения грубых ошибок.
    Лекция 4. Средние значения, методы их вычисления.
    Лекция 5. Оценки истинного значения измеряемой величины.
    Лекция 6. Сравнение средних значений.
    Лекция 7. Оценки точности измерений.
    Лекция 8. Сравнение дисперсий.
    Лекция 9. Проверка нормальности распределения.
    Лекция 10. Основные понятия планирования эксперимента.
    Лекция 11. Общие требования к плану эксперимента. О критериях планирования эксперимента.
    Лекция 12. Планы для моделей, описываемых полиномами первого порядка.
    Лекция 13. Планы для моделей, содержащих линейные члены и взаимодействия различного порядка.
    Лекция 14. Планы для квадратичных моделей.

    Лекция
    Введение.

    Общие представления о методах статистической обработки экспериментальных данных, методах планирования эксперимента.
    В курсе теории вероятностей изучаются закономерности случайных явлений. Отправной точкой при этом является вероятностная модель случайного явления (Q, F, P), где Q - пространство элементарных событий рассматриваемого явления, F - ст-алгебра наблюдаемых событий и P - вероятностная мера на ней, которая предполагается известной. Однако, на практике почти всегда приходится сталкиваться со случайными явлениями, в которых вероятностная мера неизвестна. Возникает вопрос, можно ли, и если можно, то каким образом исследовать закономерности случайных явлений в этих ситуациях?

    Положительный ответ на поставленный вопрос дает математическая статистика; эта дисциплина занимается разработкой научно обоснованных методов исследования закономерностей случайных явлений в случаях, когда вероятностная мера заранее неизвестна. Таким образом, математическая статистика является инструментом измерения вероятностей, а ее задачи - в некотором смысле обратными по отношению к задачам теории вероятностей.

    Решение этих задач строятся на основе обработки статистических данных, которые получаются путем проведения активного или пассивного эксперимента над исследуемым явлением. В связи с этим возникает второй вопрос: как организовать (если это возможно) проведение эксперимента наилучшим, в некотором смысле, образом, например, с наименьшими затратами? Решением этих вопросов занимается раздел математической статистики, который носит название планирование эксперимента.

    Итак, математическая статистика занимается изучением случайных явлений в условиях неопределенности вероятностной модели, планирование эксперимента решает задачу наилучшей, в некотором смысле, организации эксперимента.

    В настоящее время математическую статистику можно определить как науку о принятии решений в условиях неопределенности.

    Статистические выводы относятся к процессу получения какого-либо заключения относительно генеральной совокупности по свойствам выборки из этой совокупности. Обычно совокупность характеризуется одним или несколькими параметрами. Параметры генеральной совокупности будем обозначать греческими буквами, например, μ — среднее совокупности, σ 2 — дисперсия совокупности, σ2 — среднее квадратическое отклонение совокупности. Величины, вычисленные по выборочным значениям, взятым из совокупности, называются оценками, выборочными статистиками или просто статистиками.

    Математическая статистика основывается на допущении, что выборки, взятые из генеральной совокупности, являются случайными, т. е. каждый элемент совокупности может с одинаковой вероятностью оказаться включенным в выборку, и что извлечение п элементов не влияет на модель изменчивости совокупности.

    Понятие статистического вывода можно разделить на две части:

    1) оценка параметров генеральной совокупности

    2) проверка статистических гипотез.
    Лекция 1
    Классификация ошибок измерения.

    Грубые ошибки. Систематические ошибки. Случайные ошибки.
    Численное значение физической величины получается в результате ее измерения, т.е. сравнения ее с другой величиной того же рода, принятой за единицу. При выбранной системе единиц результаты измерений выражаются определенными числами. Известно, что при достаточно точных измерениях одной и то же величины результаты отдельных измерений отличаются друг от друга, и, следовательно, содержат ошибки.

    Ошибкой измерения называется разность x - a между результатом измерения x и истинным значением a измеренной величины. Ошибка измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины (исключения составляют измерения известных величин, проведенные со специальной целью исследования ошибок измерения, например для определения точности измерительных приборов). Одной из основных задач математической обработки результатов эксперимента как раз и является оценка истинного значения измеряемой величины по получаемым результатам. Другими словами, после неоднократного измерения величины a и получения ряда результатов, каждый из которых содержит некоторую неизвестную ошибку, ставиться задача вычисления приближенного значения a с возможно меньшей ошибкой. Для решения этой задачи ( при данном уровне точности измерения) надо знать основные свойства ошибок измерений и уметь ими воспользоваться.

    Грубые ошибки. Прежде всего, при математической обработке результатов измерений не следует учитывать заведомо неверные результаты (промахи), или, как говорят, результаты, содержащие грубые ошибки. Грубые ошибки возникают вследствие нарушения основных условий измерения или в результате недосмотра экспериментатора (например, при плохом освещении вместо «3» записывают «8»). При обнаружении грубой ошибки результат измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить(если это возможно). Внешним признаком результата, содержащего грубую ошибку, является его резкое отличие по величине от результатов остальных измерений. На этом основаны некоторые критерии исключения грубых ошибок по их величине, однако самым надежным и эффективным способом браковки неверных результатов остается браковка их непосредственно в процессе самих измерений. Всюду в настоящем справочном руководстве считается, что оставленные для математической обработки результаты измерений не содержат грубых ошибок.

    Систематические ошибки. Ошибки измерения вызываются большим количеством разнообразных причин (факторов). Иногда в проведенной серии измерений удается выделить такие причины ошибок, эффект действия которых может быть рассчитан. Например, если после измерений обнаружена неправильная регулировка приборов, которая привела к смещению начала отсчета, то все снятые показания будут смещены либо на постоянную величину, если шкала прибора равномерна, либо на величину, изменяющуюся по определенному закону, если шкала прибора неравномерна. Другим примером может служить изменение внешних условий, например, температуры, если известно влияние этих изменений на результаты измерений. К названным причинам можно также отнести некоторое несовершенство измерительных приборов на границе области их применимости, вызывающее известных ошибок.

    Принято говорить, что каждая из таких причин вызывает систематическую ошибку. Выявление систематических ошибок, вызываемых каждым отдельным фактором, требует специальных исследований (например, измерений одной и той же величины разными методами или измерений одним и тем же прибором некоторых эталонов, известных величин). Но как только систематические ошибки обнаружены и их величины рассчитаны, они могут быть легко устранены путем введения соответствующих поправок в результате измерения. Поэтому в настоящем справочном руководстве мы будем считать, что к началу математической обработки результатов измерений все систематические ошибки уже выявлены и устранены. Подчеркнем, что при этом общая ошибка каждого результата остается неизвестной, так что речь идет не о выделении из общей ошибки некоторой части в виде систематической ошибки, а лишь о введении поправок на известный эффект действия тех факторов, которые удалось выявить.

    Случайные ошибки. Ошибки измерения, остающиеся после устранения всех выявленных систематических ошибок, т.е. ошибки результатов измерений, исправленных путем введения соответствующих поправок, называются случайными. Случайные ошибки вызываются большим количеством таких факторов, эффекты действия которых столь незначительны, что их нельзя выделить и учесть в отдельности (при данном уровне техники и точности измерений). Случайную ошибку можно рассматривать как суммарный эффект действия таких факторов.

    Случайные ошибки являются неустранимыми, их нельзя исключить в каждом из результатов измерений. Но с помощью методов теории вероятности можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины, что позволяет определить значение измеряемой величины со значительно меньшей ошибкой, чем ошибки отдельных измерений. Учет влияния случайных ошибок основан на знании законов их распределения.
    Лекция 2

    Распределение случайных ошибок измерения.

    Вероятностная модель. Нормальный закон распределения. Показатели точности измерения.
    Вероятностная модель. Случайные ошибки измерения характеризуются определенным законом их распределения. Существование такого закона можно обнаружить, повторяя много раз в неизменных условиях измерение некоторых величины и подсчитывая число m тех результатов измерения, которые в любой выделенный (отмеченный) интервал: отношение этого числа к общему числу nпроизведенных измерений (относительная частота попадания в отмеченный интервал) при достаточно большом числе измерений оказывается близким к постоянному числу (разумеется, своему для каждого интервала). Это обстоятельство позволяет применить к изучению случайных ошибок измерения методы теории вероятности. В теоретико-вероятностной модели случайные ошибки z = x - a(а значит, и сами результаты измерения x = a - z) рассматриваются как случайные величины, которые могут принимать любые действительные значения, причем каждому интервалу () соответствует вполне определенное число, называемое вероятностью попадания случайной величины z в этот интервал и обозначаемое через Р(< z < ) или

    Р(z Є ()). Эта вероятность выступает как идеализированная относительная частота попадания в интервал (), т.е. на практике именно к этой вероятности близки упомянутые выше относительные частоты:
    (< z < ).

    Правило, позволяющее для любых интервалов () находить вероятности Р(< z < ), называются законом распределения вероятностей случайной величины z. Во всех задачах, рассматриваемых в настоящем справочном руководстве, закон распределения записывается с помощью интеграла
    < z < =, (1)
    где p(z) – некоторая неотрицательная функция, нормированная условием

    ;

    эта функция полностью определяет соответствующий закон распределения вероятностей и называется плотностью распределения.

    Нормальный закон распределения. В качестве закона распределения случайных ошибок измерения чаще всего принимают нормальный закон распределения ( закон Гаусса). Плотность нормального распределения равна
    , (2)
    где параметр характеризует точность измерений. График плотности распределения вероятностей называется кривой распределения. На рис.1 показаны кривые нормального распределения при различных значениях ; из этого рисунка видно, что при уменьшении параметра кривая нормального распределения сжимается вдоль оси Oz и вытягивается вдоль оси p(z); и, следовательно, чем меньше , тем быстрее убывает плотность распределения p(z) с возрастанием .

    htkzts9fizs.jpg

    Вероятность (2) попадания в интервал графически изображается площадью соответствующей криволинейной трапеции под кривой распределения вероятностей. В частности, вероятность попадания в симметричный интервал изображается площадью фигуры, заштрихованной на рис. 2. Отсюда также видно, что чем меньше , тем меньше разброс ошибок около нуля.

    m9_z97t385k.jpg

    Вероятность попадания случайной ошибки в симметричный интервал при нормальном распределении вычисляется по формуле

    , (3)

    где

    (t > 0). (4)

    Функция Ф(t) называется интегралом вероятностей, ее значения приведены в специальных таблицах. В этой таблице значения Ф(t) приведены лишь для положительных значений аргумента; для отрицательных значений аргумента функция Ф(t) продолжается нечетным образом:

    Ф(t)=-Ф(t).

    Вероятность попадания случайной ошибки в любой интервал в случае нормального распределения вычисляется по формуле

    . (5)

    Наконец, вероятность того, что случайная ошибка выйдет за границы , равна

    . (6)

    Для удобства расчетов значения вероятностей 1-2Ф(t) при значения t приведены в таблице Там же даны значения и обратной функции t = t(), для которой 1-=1-2Ф(t), т.е. = 2Ф(t). При больших значениях t вероятность (6) очень мала. Например, =6, =6. Уже вроятность выхода за трехсигмовые пределы

    =0,0027 (7)

    настолько мала, что выход случайной ошибки измерения за трехсигмовые пределы считают практически невозможным (правило трех сигм). Другими словами, принимается, что случайные ошибки измерения ограничены по абсолютной величине значением (хотя рассматриваемая математическая модель допускает в принципе любые значения ошибок).

    Нормальный закон распределения случайных ошибок обычно достаточно хорошо согласуется с опытом, что может быть проверено путем измерений известных величин (эталонов), когда можно точно подсчитать величины ошибок. В частности, нормальный закон отражает известное свойство симметрии случайных ошибок (случайные ошибки разных знаков встречаются примерно одинаково часто) и свойство концентрации (малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие).

    Если в некоторой задаче возникает сомнение в нормальности закона распределения случайных ошибок (например, если случайные ошибки выходят за трехсигмовые пределы или если нарушается симметрия их распределения), то результаты измерения следует подвергнуть обработке.

    Если случайные ошибки имеют нормальный закон распределения с плотностью (2), то распределение результатов измерения x = a+z имеет плотность,

    , (8)

    которая только сдвигом на величину aотличается от плотности (2). Этот закон распределения называется общим нормальным законом с центром a. Плотность (2) может быть записана, как . Для случайных ошибок всегда предполагается, что центр их распределения равен нулю.
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   12
    написать администратору сайта