Главная страница
Навигация по странице:

  • ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС И ПРАКТИКУМ Санкт- Петербург 2014 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Санкт - Петербургский

  • О.В. Слита, А.В. Ушаков МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС И ПРАКТИКУМ Санкт - Петербург 2014 2 УДК

  • МОТС ИТМО. Практикум санкт петербург 2014 министерство образования и науки российской федерации


    Скачать 10.53 Mb.
    НазваниеПрактикум санкт петербург 2014 министерство образования и науки российской федерации
    АнкорМОТС ИТМО.pdf
    Дата27.07.2017
    Размер10.53 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаМОТС ИТМО.pdf
    ТипПрактикум
    #15073
    страница1 из 32
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32
    НА. ДУДАРЕНКО, О.С.
    НУЙЯ, МВ. СЕРЖАНТОВА,
    О.В. СЛИТА, А.В. УШАКОВ
    МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ
    ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС И ПРАКТИКУМ Санкт- Петербург 2014
    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
    Санкт
    -
    Петербургский
    Национальный исследовательский
    университет информационных технологий, механики и оптики
    Н.А. Дударенко, ОС. Нуйя, МВ. Сержантова,
    О.В. Слита, А.В. Ушаков МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ
    ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС И ПРАКТИКУМ
    Санкт
    -
    Петербург
    2014

    2
    УДК
    517/519:62.50:681.3
    Дударенко НА, Нуйя ОС, Сержантова МВ, Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы теории систем лекционный курс и практикум. Учебное пособие для высших учебных заведений Под ред. А. В. Ушакова – изд. е, расширенное и дополненное СПб.: НИУ ИТМО , 2014. 292 сил. Рецензенты д.т.н., профессор В.Н. Дроздов д.т.н., профессор ВТ. Шароватов В учебном пособии излагаются теоретические положения, подкрепленные практикумом, основных разделов учебной дисциплины Математические основы теории систем (МОТС) естественнонаучного цикла образовательного стандарта направлений 220100 – Системный анализ и управление, 220400 – Управление в технических системах, 221000 – «Мехатроника и робототехника подготовки бакалавров и магистров и направления 220201 – Управление и информатика в технических системах подготовки специалистов. Учебное пособие построено по замкнутому принципу так, что все необходимые для решения примеров и задач сведения приведены в каждом разделе, а также в приложениях. В каждом разделе дается решение с разбором наиболее характерных примеров и задач. Учебное пособие содержит разделы и параграфы, отмеченные звездочкой, материал которых не входит в рабочую программу дисциплины МОТС. Они введены в пособие для самостоятельной работы студентов, желающих расширить свой образовательный кругозор. Учебное пособие может быть рекомендовано аспирантами молодым специалистам, которым породу своей деятельности приходится иметь дело с информационными и динамическими системами и математическими проблемами, связанными с построением модельных представлений таких систем, ориентированных на возможности матричного формализма метода пространства состояния. В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория Национальный исследовательский университет. Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
    «Санкт-
    Петербургский Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики на 2009–2018 годы. Утверждено к печати Советом факультета компьютерных технологий и управления, протокол № 3 от 12.11.2013.
    © Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2014
    © Дударенко НА, Нуйя ОС, Сержантова МВ, Слита О.В., Ушаков А.В., 2014

    3 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие. 11 Используемые термины, обозначения и сокращения. 14 Введение. Основные проблемы управления. 16 1. Алгебраические структуры.
    23 Примеры и задачи 2. Пространства. 33 2.1 Метрические пространства. Способы задания метрик.
    33 Примеры и задачи.
    35 2.2 Линейные пространства, операторы и матрицы. Структура пространства линейных операторов. Собственные значения, собственные векторы. Нормы и скалярные произведения векторов …………………….
    38 Примеры и задачи.
    49 3. Матричные инварианты и неинварианты подобных матриц. Сингулярное разложение матриц Примеры и задачи.
    60 4. Канонические формы матриц. Матрицы приведения подобия
    65 Примеры и задачи.
    74 5. Функции от вектора. Линейные и квадратичные формы. Правила дифференцирование по аргументам функции Примеры и задачи.
    81 6. Функции от матриц. Матричная экспонента.
    86 6.1 Матричные ряды и матричные функции от матриц.
    86 6.2 Матричная экспонента, способы ее вычисления. Алгоритм Д. Фаддеева разложения резолвенты в задаче вычисления матричной экспоненты.
    92 6.3 Обращение матриц с помощью теоремы Гамильтона–
    Кэли………………………………………………………... 95 Примеры и задачи
    96 7. Матрицы особой конструкции.
    99 7.1
    Кронекеровские матричные структуры, область применения и свойства.
    99

    4 7.2
    Псевдообращение и псевдообратные матрицы.
    102 Примеры и задачи.
    110 8. Математические модели «вход-выход» (ВВ) динамических объектов.
    113 8.1 Математические модели ВВ непрерывных объектов управления. Весовая и передаточная функции.
    113 8.2 Математические модели ВВ дискретных объектов управления. Передаточная функция дискретных объектов. ………………………………………………..
    121 Примеры и задачи.
    127 9. Модели «вход-состояние-выход» (ВСВ) динамических объектов. 130 9.1 Модели ВСВ непрерывных объектов управления. Состояние и его свойства. Свободное и вынужденное движения непрерывных объектов. Фундаментальная и переходная матрицы. Построение моделей ВСВ непрерывных динамических объектов по передаточным функциям ……………………………….
    131 9.2 Модели ВСВ дискретных объектов управления. Свободное и вынужденное движения дискретных объектов управления Связь матричных компонентов модельных представлений дискретных и непрерывных объектов. 138 9.3 Устойчивость как обязательное условие работоспособности динамических объектов. Условия устойчивости непрерывных и дискретных динамических объектов. 145 9.4 Структурные свойства объектов управления управляемость и наблюдаемость, управляемость и наблюдаемость собственных значений матрицы состояния над бесконечными полями. Каноническое структурное представление Р.Калмана. Полнота моделей ВСВ и ВВ динамических объектов 9.5 Алгоритм Д. Фаддеева разложения резолвенты в задаче формирования модели
    ВВ, векторно-матричное дифференциальное уравнение
    «вход-выход» непрерывных объектов управления.
    157 Примеры и задачи.
    158 10. Математические модели экзогенных воздействий. 165 10.1 Модели конечномерных непрерывных типовых экзогенных воздействий

    5 10.2 Модели конечномерных дискретных типовых экзогенных воздействий. 171 10.3 Конечномерное представление сложных непрерывных воздействий. Базисные функции. Теорема
    В.Котельникова – К.Шеннона………………………….
    174 10.4
    * Модель бесконечномерного воздействия типа δ функция Дирака.
    179 10.5
    * Модели стохастических стационарных в широком смысле непрерывных экзогенных воздействий. 181 10.6
    * Модели стохастических стационарных в широком смысле дискретных экзогенных воздействий. 185 Примеры и задачи.
    187 11. Динамические системы объекты) при экзогенном воздействии 11.1 Динамические непрерывные системы (объекты) при конечномерном экзогенном воздействии. Уравнения
    Сильвестра………………………………………………..
    191 11.2 Динамические дискретные системы (объекты) при конечномерном экзогенном воздействии. Уравнение
    Сильвестра……………………………………………….. 197 11.3
    * Динамические непрерывные системы (объекты) при стохастическом экзогенном воздействии. Уравнение Ляпунова. 202 11.4
    * Динамические дискретные системы (объекты) при стохастическом экзогенном воздействии. Уравнение Ляпунова. ………………………………………………..
    207 11.5
    * Связь параметров стохастических стационарных в широком смысле непрерывных и дискретных экзогенных воздействий типа белый шум.
    212 Примеры и задачи.
    215 Линейные матричные уравнения. Способы их решения. 218 12.1 Матричные уравнения Сильвестра, Ляпунова, Риккати 218 12.2 Методы прямого решения линейных матричных уравнений ………………………………………..………. 221 12.3 Инверсное решение линейных матричных уравнений
    227 Примеры и задачи

    6 13
    *
    . Модели траекторной параметрической чувствительности динамических объектов и систем 13.1 Модели траекторной параметрической чувствительности непрерывных динамических объектов и систем ………………………………………
    233 13.2 Модели траекторной параметрической чувствительности дискретных динамических объектов и систем ……………………………………………….…. 246 Примеры и задачи. 248 Интервальные модельные представления динамических объектов ……………………………………………………..
    251 14.1 Элементы интервальных вычислений и линейной алгебры.
    251 14.2 Интервальные математические модели динамических объектов. 259 Примеры и задачи.
    261 Заключение. 263 Литература ………………………………………………………. 264 Приложение
    1: Преобразование Лапласа функций непрерывного времени и его свойства. Лапласовы образы простейших функций. 267 Приложения 2: Z – преобразование функций дискретного времени и его свойства. Z – образы простейших функций.
    272 Приложение 3: файл Вычисление матричной экспоненты в задаче исследования системы (объекта
    276 Приложение 4. Матрицы и действия сними Из истории кафедры Систем управления и информатики Об авторах.
    290

    7
    CONTENTS
    Preface…………………………………………………………………...
    11
    Notations and abbreviations……………………………………………
    14
    Introduction. Main control problems……………………………………
    16 1.
    Algebraic structures……………………………………………….
    23
    Examples and exercises…………………………………………….
    30 2.
    Spaces……………………………………………………………..
    33 2.1
    Metric spaces. Types of metrics…………………………
    33
    Examples and exercises……………………………………………
    35 2.2
    Linear spaces, operators and matrices. Structure of linear operators space. Eigenvalues, eigenvectors. Norms and scalar products of vectors…………………………………
    38
    Examples and exercises…………………………………………..
    49 3.
    Matrix invariants and non-invariants of similar matrices. Singular value decomposition………………………………………………
    52
    Examples and exercises……………………………………………
    60 4.
    Canonical matrix forms. Similarity matrices……………………
    65
    Examples and exercises…………………………………………..
    74 5.
    Vector functions. Linear and quadratic forms. Differentiation rules with respect to function arguments ……………….……………..
    77
    Examples and exercises……………………………………………
    81 6.
    Matrix functions. Matrix exponential……………………………
    86 6.1
    Matrix series and matrix functions of matrices……………
    86 6.2
    Matrix exponential, methods of its calculation.
    Faddeev’s algorithm of resolventa decomposition for calculating of matrix exponential …………………………
    92 6.3
    Matrix inversion by means of Cayley-Hamilton theorem
    95
    Examples and exercises…………………………………………..
    96 7.
    Special structure matrices………………………………………..
    99 7.1
    Croneker matrix structures, application and properties
    99 7.2
    Pseudo inversion and pseudoinverce matrices……………
    102
    Examples and exercises…………………………………………..
    110 8.
    Input-output models of dynamic plants…………………………..
    113

    8 8.1
    Input-output models of continuous-time plants. Impulse response and transfer function……………………………
    113 8.2
    Input-output models of discrete-time plants. Transfer functions of discrete-time plants …………………………
    121
    Examples and exercises…………………………………………..
    127 9.
    State-space models (MIMO) of dynamic plants…………………
    130 9.1
    Continuous-time state-space models. State and its properties. Free and forced motion of continuous-time plants.
    Fundamental and state transition matrix.
    Construction of state-space models using transfer functions
    131 9.2
    Discrete-time state-space models. Free and forced motion of discrete-time plants. Relation between models of discrete and continuous time models……………………………….
    138 9.3
    Stability as required property of dynamic plants efficiency.
    Stability conditions of continuous and discrete-time plants
    145 9.4
    Structural properties of plants: controllability and observability, controllability and observability of state matrix eigenvalues over infinite fields. Canonical structural Calman representation. Completeness of SISO and MIMO dynamic plants………………………………
    151 9.5
    Faddeev’s algorithm of resolventa decomposition for construction of SISO models………………………………
    157
    Examples and exercises………………………………………….
    158 10. Mathematical models of exogenous signals……………………..
    165 10.1
    Models of finite-dimensional continuous-time standard exogenous signals………………………………………..
    167 10.2
    Models of finite-dimensional discrete-time standard exogenous signals…………………………………………
    171 10.3
    Finite-dimensional representation of complex continuous time signals. Basis functions. Shannon-Kotelnikov theorem…………………………………………………..
    174 10.4
    *
    Infinite-dimensional model of Dirac δ–function type……
    179 10.5
    *
    Models of stochastic in wide sense continuous-time exogenous signals…………………………………………
    181 10.6
    *
    Models of stochastic in wide sense discrete-time exogenous signals…………………………………………………….
    185
    Examples and exercises……………………………………………
    187

    9 11. Influence of exogenous signals on dynamic systems (plants)…….
    189 11.1
    Dynamic continuous–time systems (plants) under finite- dimensional exogenous signals. Sylvester equation…….
    191 11.2
    Dynamic discrete–time systems (plants) under finite- dimensional exogenous signals. Sylvester equation…….
    197 11.3
    *
    Dynamic continuous–time systems
    (plants) under stochastic exogenous signals. Lyapunov equation………
    202 11.4
    *
    Dynamic discrete–time systems (plants) under stochastic exogenous signals. Lyapunov equation………………….
    207 11.5
    *
    Relation of parameters of stochastic stationary in the wide sense continuous-time and discrete-time signals of «white noise” type……………………………………………….
    212
    Examples and exercises……………………………………………
    215 12
    *
    Linear matrix equations. Solution methods ……………………
    218 12.1
    Sylvester, Lyapunov, Riccati matrix equations………….
    218 12.2 Methods of direct solution of linear matrix equations…..
    221 12.3 Inverse solution of linear matrix equations……………..
    227
    Examples and exercises………………………………………….
    228 13
    *
    . Models of trajectory parametric sensitivity of dynamic plants and systems……………………………………………………………
    233 13.1 Models of trajectory parametric sensitivity of dynamic continuous-time plants and systems…………………….
    233 13.2 Models of trajectory parametric sensitivity of dynamic discrete-time plants and systems…………………………
    246
    Examples and exercises………………………………………….
    248 14
    *
    Interval models of dynamic plants……………………………….
    251 14.1
    Elements of interval calculations and linear algebra…….
    251 14.2
    Interval mathematical models of dynamic plants……….
    259
    Examples and exercises…………………………………………..
    261
    Conclusion…………………………………………………………
    263
    References…………………………………………………………
    264
    Appendix 1: The Laplace transform and its properties. The
    Laplace transforms of the simplest functions. …………………
    267
    Appendix 2: Z – transform and its properties. Z – transforms of simple functions…………………………………………………
    272
    Appendix 3: M–script: Calculation of matrix exponential for investigation of a plant (system)
     
         
     
    t
    Cx
    t
    y
    x
    t
    Ax
    t
    x


    ;
    0
    ;

    ……
    276

    10
    Appendix 4. Matrices and operations……………………………
    277
    From the history of Control systems and informatics department
    284
    Information about authors……………………………………….
    290

    11 Посвящается семидесятилетию основания кафедры автоматики и телемеханики

    (ныне
    кафедры систем управления и
    информатики)
    ПРЕДИСЛОВИЕ Дисциплина Математические основы теории систем (МОТС)» к настоящему моменту имеет достаточно богатую предысторию. Первоначально в учебных планах подготовки инженеров–электриков по специальности 0606 – автоматика и телемеханика в е годы XX- го века появилась дисциплина Математические основы кибернетики МОК. К концу х годов го века название дисциплины претерпевает первое изменение, в результате чего она стала называться Теоретическими основами кибернетики (ТОК. Введенная в учебный план специальности 0606 дисциплина как в версии МОК, таки в версии ТОК в основном решала задачи математического обеспечения модельных представлений процессов управления и информационных процессов в канальных средах. Преподавание дисциплины ТОК на кафедре автоматики и телемеханики осуществлялось на основе учебного пособия Никифорова Л.Т., Ушаков А.В., Хабалов В.В. Теоретические основы кибернетики. Учебное пособие. Л ЛИТМО,
    1984. В конце х годов го века дисциплина претерпевает очередное изменение названия, в результате чего она начинает называться Математическими основами исследования процессов управления (МОИПУ)». Из программы дисциплины МОИПУ изымаются положения, связанные с информационными процессами в канальных средах, которые переносятся в программу появившейся в учебном плане специальности 0606 дисциплины Прикладная теория информации (ПТИ)». Последняя модификация названия дисциплины, в результате которой она получила действующую в настоящий момент версию Математические основы теории систем (МОТС)», произошла вначале х годов го века с одновременным изменением номера и названия специальности инженерной подготовки так, что выпускники вузов поданной специальности стали получать квалификацию инженера по специальности 2101 (ныне 220201) – управление и информатика в технических системах. С середины х годов го века дисциплина МОТС вошла также в структуру учебного плана по разделу естественнонаучных дисциплин образовательного стандарта направления 651900 – Автоматизация и управление подготовки бакалавров и магистров.

    12 В результате на основе опыта преподавания дисциплин МОК, ТОК, МОИПУ и Математические основы теории систем, накопленного на кафедре систем управления и информатики (до 2001- го года кафедре автоматики и телемеханики) Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики в м году было подготовлено и издано учебное пособие Ушаков А.В., Хабалов В.В., Дударенко НА. Математические основы теории систем элементы теории и практикум Под ред.
    Ушакова А.В. – СПб: СПбГУИТМО, 2007. Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие Дударенко НА, Нуйя ОС, Сержантова МВ, Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы теории систем лекционный курс и практикум. Учебное пособие для высших учебных заведений Под ред. А. В.
    Ушакова – изд.2–е, дополненное СПб.: НИУ ИТМО , 2014. 292 с. отражает две тенденции в деятельности кафедры систем управления и информатики НИУ ИТМО. Первая тенденция состоит в интенсификации издательской деятельности сотрудников кафедры, в результате чего увидели свет учебные пособия и монографии Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы теории управления элементы метода пространства состояний учебное пособие/Под ред. Ушакова А.В.–
    СПб.: Балт. гос. техн. унт «Военмех» им. Н.Ф.Устинова. 2008;
    Дударенко НА, Слита О.В., Ушаков А.В. Математические основы современной теории управления аппарат метода пространства состояний учебное пособие. Под ред. Ушакова А.В. – СПб.:
    СПбГУИТМО. 2008.; Ушаков А, Дударенко Н, Слита О. Современная теория многомерного управления аппарат пространства состояний
    Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011.; Ушаков А.В.,
    Быстров ПС, Нуйя (Осипцева) ОС. Цифровое дистанционное управление сетевые технологии и алгоритмы. - Saarbrucken: LAP
    LAMBERT Academic Publishing, 2013; Сержантова М, Ушаков. А.
    Антропокомпоненты в составе сложных динамических систем LAP
    LAMBERT Academic Publishing, 2012. Вторая тенденция связана с организаций в стенах университета параллельного обучения по направлениям 220100 – Системный анализ и управление, 220400 – Управление в технических системах, подготовки бакалавров и магистров и направлению 220201 – Управление и информатика в технических системах подготовки специалистов. Организация двухуровнего образования бакалавриат–
    магистратура, которая допускает поступления в магистратуру бакалавров, подготовленных в рамках других направлений, обнаруживает в образовании таких магистрантов заметные образовательные дыры. С целью латания таких дыр предлагаемое вниманию читателей учебное пособие содержит разделы и параграфы со звездочкой, которых не входят в рабочую программу

    13 дисциплины МОТС, но заметно ее дополняют. Они введены в пособие также для самостоятельной работы студентов канонического бакалаврского цикла обучения, желающих расширить свой познавательный кругозор. Замысел учебного пособия в его втором и дополненном издании формировался авторами совместно, а также с учетом их личного опыта погружения в предметную и алгоритмическую среду преподавания дисциплины МОТС.
    Авторы хотели бы выразить особую благодарность рецензентам учебного пособия доктору технических наук, профессору Дроздову Валентину Ниловичу и доктору технических наук, профессору
    Шароватову Валерию Тимофеевичу, чьи указания и советы заметно улучшили качество учебного пособия.
    Конструктивную критику по существу содержания учебного пособия следует направлять авторам по почтовому адресу 197101,
    Кронверкский пр НИУ ИТМО, телефону кафедры СУИ 5954128 и электронным адресам dudarenko@yandex.ru, olga_nuyya@gmail.com,
    12noch@mail.ru, o-slita@yandex.ru, ushakov-AVG@yandex.ru. Работа поддержана Минобрнауки РФ (проект 14.Z50.31.0031).

    14 ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТЕРМИНЫ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

    S, X – множество элементов произвольной природы
    )
    (
    ),
    (
    ,
    ,
    ,
    0
    n
    p
    GF
    p
    GF
    F
    G
    G
    – алгебраические структуры соответственно группа, подгруппа, поле, простое поле Галуа с характеристикой модулем расширенное поле Галуа


    d
    X
    ,
    d
    ,
    X
    – метрическое пространство с метрикой
    )
    ,
    (
    y
    x
    d
    d

    ;
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   32
    написать администратору сайта