Главная страница

Теория вероятностей


Скачать 1.1 Mb.
НазваниеТеория вероятностей
Анкорterver.pdf
Дата05.04.2017
Размер1.1 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаterver.pdf
ТипУчебное пособие
#402
страница1 из 9

Подборка по базе: теория вероятностей.docx, Экономическая теория.docx, Экономическая теория, 1 курс. УМК (Налоги).doc, Лабораторная 5 теория новая.docx, КУРСОВАЯ ТЕОРИЯ МОЯ (Автосохраненный).docx, КУРСОВАЯ ТЕОРИЯ МОЯ (Автосохраненный).docx, Физиология - Теория (билеты - экзамен).docx, Логика Теория аргументации.doc, титульник теория принятия решений.docx, титульник теория принятия решений.docx.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9
Министерство Российской Федерации по связи и информатизации
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Н. И. Чернова
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебное пособие
Новосибирск
2009

УДК Доцент, канд. физмат. наук НИ. Чернова. Теория вероятностей Учебное пособие / СибГУТИ.— Новосибирск, 2009.— 128 с.
Учебное пособие содержит семестровый курс лекций по теории вероятностей для студентов экономических специальностей. Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта к профессиональным образовательным программам по специальности 080116 — Математические методы в экономике».
Кафедра ММБП
Табл. 3, рисунков — 21, список лит. — 9 наим.
Рецензенты: А. П. Ковалевский, канд. физмат. наук, доцент кафедры высшей математики НГТУ
В. И. Лотов, др физмат. наук, профессор кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ
Для специальности 080116 — Математические методы в экономике»
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного пособия c Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2009 г

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
5
Методические рекомендации
7
Введение
9
Г лава Основные понятия теории вероятностей. . . . . . . . . . . . 11
§ 1. Пространство элементарных исходов. . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 2. Поле событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§ 3. Вероятность и её свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
§ 4. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава Примеры вероятностных пространств. . . . . . . . . . . . . 21
§ 1. Дискретное пространство элементарных исходов. . . . . . . . . 21
§ 2. Основные формулы комбинаторики. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 3. Вероятность на числовой прямой и плоскости. . . . . . . . . . . 30
§ 4. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава Условная вероятность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 1. Понятие условной вероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
§ 2. Формула полной вероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§ 3. Формула Байеса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
§ 4. Независимость событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
§ 5. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава Схема Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
§ 1. Распределение числа успехов в n испытаниях. . . . . . . . . . . 43
§ 2. Номер первого успешного испытания. . . . . . . . . . . . . . . . 44
§ 3. Теорема Пуассона для схемы Бернулли. . . . . . . . . . . . . . 46
§ 4. Предельная теорема Муавра — Лапласа. . . . . . . . . . . . . . 47
§ 5. Независимые испытания с несколькими исходами. . . . . . . . . 49
§ 6. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава Случайные величины и их распределения. . . . . . . . . . 51
§ 1. Случайные величины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
ОГЛАВЛЕНИЕ 2. Распределения случайных величин. . . . . . . . . . . . . . . . . 53
§ 3. Функция распределения и её свойства. . . . . . . . . . . . . . . 54
§ 4. Примеры дискретных распределений. . . . . . . . . . . . . . . . 58
§ 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений. . . . . . . . 60
§ 6. Преобразования случайных величин. . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 7. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава Многомерные распределения. . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§ 1. Совместное распределение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
§ 2. Виды многомерных распределений. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
§ 3. Примеры многомерных распределений. . . . . . . . . . . . . . . 77
§ 4. Роль совместного распределения. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
§ 5. Независимость случайных величин. . . . . . . . . . . . . . . . . 80
§ 6. Функции от двух случайных величин. . . . . . . . . . . . . . . . 81
§ 7. Устойчивость распределений по суммированию. . . . . . . . . . 82
§ 8. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава Числовые характеристики распределений. . . . . . . . . 87
§ 1. Математическое ожидание случайной величины. . . . . . . . . 87
§ 2. Дисперсия и моменты старших порядков. . . . . . . . . . . . . . 90
§ 3. Средние и дисперсии стандартных распределений. . . . . . . . 92
§ 4. Производящая функция моментов. . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§ 5. Другие числовые характеристики распределений. . . . . . . . . 97
§ 6. Числовые характеристики зависимости случайных величин. . . 99
§ 7. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава Предельные теоремы теории вероятностей. . . . . . . . 105
§ 1. Сходимость по вероятности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§ 2. Вероятностные неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§ 3. Законы больших чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
§ 4. Центральная предельная теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
§ 5. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава Элементы теории случайных последовательностей. . . . . 113
§ 1. Цепи Маркова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
§ 2. Эргодичность конечной цепи Маркова
. . . . . . . . . . . . . . . 116
§ 3. Контрольные вопросы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие содержит полный курс лекций по теории вероятностей для студентов Сибирского государственного университета телекоммуникаций и информатики, обучающихся по специальности Математические методы в экономике. Содержание курса полностью соответствует образовательным стандартам подготовки бакалавров по указанной специальности.
Курс теории вероятностей опирается на стандартные курсы математического анализа, алгебры и дискретной математики, и служит основой для следующего за ним курса математической статистики. Оба они составляют главную часть необходимой базы для основных дисциплин специализации эконо- мистов-математиков — эконометрики, многомерных статистических методов и теории риска.
Задача курса — обучить студентов математическим методам исследования вероятностных экономико-математических моделей, предоставить им необходимый математический аппарат, привить вероятностный взгляд на мир.
Структура курса является общепринятой, содержание более всего соответствует учебному пособию П. П. Бочарова и А. В. Печинкина [1], которую читатель может использовать для более полного знакомства с предметом.
Автор старался не уделять излишнего внимания комбинаторным задачами аксиоматике. Последняя дана в виде перечня базовых требований к конструкции вероятностных моделей. В дальнейшем измеримость функций и множеств предполагается по умолчанию и нигде отдельно не обсуждается.
Задание вероятностей на дискретном и на непрерывном вероятностных пространствах в курсе изучается дважды при описании простейших вероятностных моделей и при описании распределений случайных величин. Автор надеется, что это облегчит понимание понятий случайная величина и распределение случайной величины».
Многие формулировки теорем и доказательства в курсе изложены недостаточно строго, чтобы не усложнять изложения. Так, свойства, выполняющиеся
«почти наверное, сформулированы как выполненные всегда можно считать,
что любые равенства случайных величин в данном курсе понимаются в смысле совпадения на множестве единичной вероятности. Доказательство предель-

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
ных свойств функций распределения неявно использует свойство непрерывности меры, отсутствующее в курсе. Математическое ожидание вводится не через интеграл Стилтьеса, а отдельно в дискретном и абсолютно непрерывном случаях. Соответственно, корректные доказательства большинства свойств математического ожидания становятся невозможными и опущены. Центральная предельная теорема и теоремы Муавра — Лапласа оставлены без доказательства, поскольку в рамках этого курса любые их доказательства (будь то доказательство методом композиций, методом характеристических функций или производящих функций моментов) сместят акценты в изучении предмета в сторону излишних технических подробностей.
В курс не вошли такие полезные разделы, как условные распределения,
линейные преобразования многомерных нормальных распределений и случайные процессы с непрерывным временем. Эти разделы выходят за рамки образовательного стандарта и изучаются в последующих курсах случайных процессов, эконометрики и многомерного статистического анализа
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов и является дополнением к курсу лекций и практических занятий. Оно будет полезно также любому читателю, желающему освоить предмет самостоятельно. Предполагается, что читатель владеет основами математического анализа, алгебры, исчисления высказываний и дискретной математики.
Курс разбит на 9 глав. Первая глава знакомит читателя с основными понятиями и аксиомами теории вероятностей. Во второй главе рассматриваются примеры дискретных и непрерывных вероятностных пространств. Третья глава посвящена условной вероятности и её следствиям. Здесь же обсуждается понятие независимости событий. Формулы для расчёта вероятностей в последовательностях независимых событий предложены в четвёртой главе.
Здесь же встречаются первые предельные теоремы.
Пятая глава знакомит читателя с понятием случайной величины и её распределения. Рассматриваются только дискретные и абсолютно непрерывные распределения случайных величин. Здесь же дан перечень стандартных семейств распределений и изучаются их свойства. Глава завершается изучением линейных преобразований случайных величин.
В шестой главе рассмотрены совместные распределения случайных величин. Особый акцент сделан на влиянии совместного распределения на распределения функций от случайных векторов. Независимость случайных величин вводится как частный случай совместного распределения, позволяющий обойтись знанием маргинальных распределений. Здесь же подробно рассмотрено суммирование независимых случайных величин, формула свёртки и следствия из неё.
Глава седьмая посвящена математическим ожиданиям, дисперсиями другим важным числовым характеристикам распределений. Математические ожидания вводятся отдельно для дискретного и для абсолютно непрерывного распределения, свойства математических ожиданий изложены без строгих доказательств. Здесь же определяются моменты и дисперсия, рассматриваются их свойства, вычисляются моменты основных распределений, в том числе с помощью производящей функции моментов. Далее в этой главе рассмотрен
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ряд полезных в статистике числовых характеристик распределений и совместных распределений коэффициенты эксцесса и асимметрии, квантили,
ковариация и коэффициент корреляции.
Глава восьмая вновь возвращает читателя к предельным теоремам теории вероятностей, с которыми читатель впервые встретился в четвёртой главе на примере схемы Бернулли. Изложены слабые законы больших чисел в формах
П. Л. Чебышёва и Я. Бернулли, центральная предельная теорема для независимых и одинаково распределённых слагаемых, ЦПТ для разнораспределён- ных слагаемых в форме А. М. Ляпунова.
В последней главе рассмотрены цепи Маркова с дискретным временем.
Приложение содержит таблицы с перечнем основных характеристик дискретных и абсолютно непрерывных распределений, таблицу значений функции распределения стандартного нормального закона.
В конце книги приведен подробный предметный указатель. В списке литературы перечислены учебники, которые можно использовать в дополнение к курсу, и сборники задач для практических занятий.
Изложение материала сопровождается большим числом примеров. Не рекомендуется пропускать эти примеры при чтении, поскольку каждый такой пример помогает понять теоретический материал. Читателю, желающему освоить курс, стоит выполнять все содержащиеся в тексте упражнения и отвечать на заданные вопросы. В конце каждой главы приводится список контрольных вопросов. Вопросы подобраны так, чтобы акцентировать внимание читателя на важных моментах, которые могут остаться незамеченными при первом чтении. Если читателю неуда тся дать ответ на какой-либо вопрос,
ему стоит повторно разобрать теоретический материал. Читатель должен также помнить, что освоение предмета невозможно без опыта решения задач.
Поэтому параллельно с изучением теоретического материала следует решать задачи из любого сборника задач в списке литературы.
Нумерация параграфов в каждой главе отдельная. Формулы, примеры,
утверждения и т. п. имеют сквозную нумерацию. При ссылке на объект из другой главы для удобства читателя указан номер страницы, на которой содержится объект. При ссылке на объект из той же главы приводится только номер формулы, примера, утверждения. Окончание доказательств отмечено значком

ВВЕДЕНИЕ
Человек повсюду встречается с процессами или явлениями, результаты которых не могут быть предсказаны заранее. Мы не можем предугадать точно оценку контрольной работы или урожай картофеля, курс доллара через неделю или объём продаж магазина, погоду в течение дня или результат спортивного состязания, выигрыш в лотерею или срок службы электрической лампочки. Основываясь на своих представлениях или на предыдущем опыте, мы пытаемся всякий раз прогнозировать результат таких «опытов».
Чаще всего наш прогноз будущего носит вероятностный характер «завтра,
скорее всего, будет солнечно, рост курса доллара на этой неделе маловероятен, шансы на выигрыш в лотерею малы».
Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах (точнее, в их математических моделях. Но результат случайного эксперимента нельзя предсказать заранее. О каких же закономерностях может идти речь в условиях непредсказуемости результата?
Давайте подбросим монету. Мы не сможем ответить на вопрос, выпадет ли монета вверх гербом или решкой. Результат индивидуального опыта непредсказуем. Но подбросим монету снова и снова. Конечно, мы не сможем сказать заранее, сколько гербов выпадет, если мы будем бросать монету 1 000 раз. Но количество выпавших гербов не должно очень отличаться отв силу полной симметрии монеты герб имеет столько же шансов выпасть, сколько и решка. Более того, частота выпадения герба (отношение количества выпавших гербов к числу всех испытаний) при продолжении испытаний должна всё меньше отличаться от 0,5, те. от вероятности выпадения герба.
Так, Г. Бюффон в XVIII веке провёл 4040 подбрасываний монеты. Герб выпал 2048 рази частота выпадения герба составила 0,508. К. Пирсон в веке бросал монету 24000 раз, при этом герб выпал в 12012 случаях. Частота выпадения герба равна 0,5005 Такая закономерность наблюдается не только при бросании монеты вероятность любого события можно трактовать как долю случаев, когда это событие происходит при многократном повторении опыта.
1
Данные заимствованы из [3].

10
ВВЕДЕНИЕ
Подведём итог. Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях, хотя бы мысленно, какое угодно число раз.
Случайность и хаос — не одно и тоже. В случайных экспериментах можно обнаружить закономерности, главная из которых — свойство статистической устойчивости если некоторое событие A может произойти в результате эксперимента, то доля n(A)/n экспериментов, в которых данное событие произошло, с ростом общего числа экспериментов приближается к некоторому числу P(A). Это число служит объективной характеристикой степени возможности событию A произойти.
Возникает соблазн принять за вероятность события предел частоты этого события при повторении опытов. Но частотное определение (его связывают с именем Р. Мизеса) неудобно по многим причинам. Прежде всего потому, что частота появления события в большой, но конечной, серии меняется от серии к серии испытаний. А бесконечную последовательность испытаний, в которой частота наконец перешла бы в точную вероятность, реализовать невозможно.
В 1900 г. на II Международном Математическом Конгрессе в Париже
Д. Гильберт сформулировал проблемы, стоящие перед математикой XX века. Шестая из двадцати трёх знаменитых ныне проблем Гильберта касалась теории вероятностей «аксиоматизировать те физические науки, в которых математика играет важную роль, в первую очередь теорию вероятностей и механику. Эта проблема (в части, касающейся теории вероятностей) была решена АН. Колмогоровым в 1923 г. Предложенная им аксиоматика трактует вероятность как функцию, заданную на подмножествах некоторого множества и обладающую рядом свойств. С аксиоматикой теории вероятностей мы познакомимся впервой главе.
Сформулируем вывод теория вероятностей изучает нереальные эксперименты, а лишь их математические модели. Вопросы определения вероятностей событий в реальном мире, те. выбора математической модели данного случайного явления, лежат за рамками теории вероятностей как математической науки. Такие вопросы решает, в частности, математическая статистика,
к изучению которой мы приступим, как только освоим её инструментарий теорию вероятностей
ГЛАВА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Изучение закономерностей в случайных экспериментах должно начинаться с построения математической модели этих экспериментов. В теории вероятностей любая модель начинается с задания вероятностного пространства. Сначала следует выяснить, каково множество всех возможных результатов данного эксперимента.
Затем решить, какие подмножества этого множества интересуют нас в качестве событий, и как мы будем определять степень возможности этих событий. Поговорим об всех этих этапах подробнее 1. Пространство элементарных исходов
О пределен и е 1. Пространством элементарных исходов называется множество Ω, содержащее всевозможные взимоисключающие результаты данного случайного эксперимента. Элементы множества называются элементарными исходами и обозначаются буквой
ω
Отметим сразу, что любое множество можно считать пространством элементарных исходов какого-то случайного эксперимента.
О пределен и е. Событиями называются подмножества множества. Говорят, что произошло событие A, если эксперимент завершился одним из элементарных исходов, входящих в множество Итак, элементарный исход — это мельчайший неделимый результат эксперимента, а событие может состоять из одного или сразу нескольких исходов.
Напомним, что конечные и счётные множества удобно задавать перечислением их элементов. Например, Ω = {1, 2, . . . , 100} — множество, состоящее из первых ста натуральных чисел. Несчётные множества обычно задают указанием свойства, которым обладают все элементы множества. Так, Ω =
= {
ω

R
|
ω
2
< 9} — множество действительных чисел из интервала (−3, Пример. Один раз подбрасывают игральную кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = { Элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.
Событие A = {1, 2} = { ,
} произойдёт, если выпадет одно или два очка событие B = {1, 3, 5} = { ,
,
} означает, что выпадет нечётное
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
число очков. Событие C = {6} = { } состоит из одного элементарного исхода и означает появление шести очков.
П р им ер. Подбрасываются две игральные кости. Будем считать их различимыми и назовём одну из них первой, другую — второй. Пространством элементарных исходов является множество пар чисел (i, j), где i число очков, выпавших на первой кости, j — на второй. В этом множестве × 6 = 36 элементарных исходов, 1) (1, 2) · · · (1, 6)
(2, 1) (2, 2) · · · (2, 6)
(6, 1) (6, 2) · · · (6, Заметим, что для симметричных костей все эти 36 исходов равновозможны:
ни одна из этих комбинаций не имеет больше шансов выпасть, чем другая.
Действительно, на первой кости с равными шансами выпадает любая грань.
Это означает, что результат бросания двух костей имеет столько же шансов оказаться впервой строке матрицы (
1
), что и во второй, в третьей и т. д.
Но на второй кости снова с одинаковыми шансами выпадает любая грань,
поэтому и каждое место в строке равновозможно.
Событие на первой кости выпадет одно очко можно записать так A =
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} ; событие на второй кости выпадет одно очко запишется так B = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6, 1)} ; событие означает, что сумма выпавших очков равна четырём; событие D = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} произойдёт,
если на костях выпадет одинаковое число очков.
П р им ер. Подбрасываются две неразличимые игральные кости. Элементарными исходами будем считать пары чисел (i, j), где i j . Например,
элементарный исход (1, 2) случается, если на одной из костей выпадает одно очко, на другой — два очка. В множестве двадцать один исход, 1) (1, 2) · · · (1, 6)
(2, 2) · · · (2, 6)
(6, Для симметричных костей эти исходы равновозможными уже не будут например, исход (1, 2) имеет вдвое больше шансов появиться, чем исход (1, 1) Мы просто перестали различать исходы из примера, симметричные друг другу относительно главной диагонали матрицы (
1
).

§ 1. Пространство элементарных исходов
13
Теперь событие сумма выпавших очков равна четырём» состоит из двух элементарных исходов (2, 2) и (1, 3) . Событие на костях выпадет одинаковое число очков по-прежнему включает шесть исходов. Слова на первой кости выпадет одно очко никакого события уже не описывают, а событие = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)} означает, что хотя бы на одной из костей выпало одно очко (ср. с примером
2
).
П р им ер. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать положение центра монеты. Пространство элементарных исходов такого эксперимента есть множество всех точек стола. Оно бесконечно и несчётно. Событием можно назвать, например, попадание центра монеты на лист бумаги, лежащий на столе.
П р им ер. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов является бесконечным, но счёт- ным множеством Ω = { г, рг, ррг, рррг, ррррг, рррррг, . . .}, где р означает выпадение решки, а г — выпадение герба при одном подбрасывании. Событие
«герб выпал при броске сч тным номером выглядит так = { рг, рррг, рррррг, . . . Пример. В коробке лежат один чёрный и два белых шара. Из коробки достают наугад один шар.
Можно определить два разных пространства элементарных исходов. Первое из них состоит из двух исходов Ω
1
= б, ч — мог появиться белый шарили чёрный. Эти исходы, очевидно, не будут равновозможными: появление белого шара вдвое вероятнее, чем появление чёрного.
Если мы хотим иметь дело с равновозможными элементарными исходами,
шары следует занумеровать (или различать как-то иначе. Тогда множество б, б, ч будет состоять из трёх элементарных исходов.
П р им ер. В коробке лежат один чёрный и два белых шара. Из коробки достают наугад два шара. Пусть порядок следования шаров нам безразличен.
Занумеруем шары, чтобы элементарные исходы были равновозможными.
Пространство элементарных исходов состоит из 3 элементов б, б, (б, ч, (б, ч)}.
Событие вынуты два белых шара включает один исход (б, б, а событие вынуты разноцветные шары — два исхода (б, ч (б, ч).
Можно, как в примере, рассмотреть пространство элементарных исходов,
состоящее из двух элементов Ω
1
= б, б, (б, ч — вынуты два белых шара или шары разных цветов. Нов таком пространстве второй исход имеет вдвое больше шансов случиться, чем первый
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Операции над событиями. В теории вероятностей рассматривают те же операции над событиями (множествами, что ив теории множеств. Дадим определения новым событиям — результатам этих операций.
Объединением A ∪ B событий A и B называется событие, состоящее в том, что из двух событий A и B случилось хотя бы одно. Это событие включает как элементарные исходы из множества A, таки элементарные исходы из множества Пересечением A ∩ B событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошли сразу оба события A и B. Это событие содержит элементарные исходы, каждый из которых принадлежит и множеству A, и множеству. Вместо A ∩ B часто пишут просто AB .
A
B

A ∪ B
A
B

A Рис. 1. Объединение и пересечение событий
Дополнением A \ B события B до A называется событие, состоящее в том, что произошло событие A, ноне произошло B. Событие A \ B содержит элементарные исходы, входящие в множество A, ноне входящие в Противоположным (или дополнительным) к событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не произошло. Событие состоит из элементарных исходов, не входящих в множество A.
A
B

A \ Рис. 2. Дополнение и противоположное событие
Выделим среди подмножеств два особых события.
Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, те. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, те. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода пустое множество

§ 1. Пространство элементарных исходов
15
Очевидно, что Ω =

,

= Ω, A ∩ A =

, A ∪ A = Ω. Объединение множеств аналогично сложению чисел, пересечение — умножению. Свойства операций над событиями похожи на свойства умножения и сложения чисел ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B Первое из этих равенств очевидно, а второе, хоть и противоречит интуиции,
всё же верно. Кроме того, объединение и пересечение событий связаны очень важными соотношениями двойственности ∪ B = A ∩ B,
A ∩ B = A Пример. Пусть событие A
i означает, что i -я деталь бракованная,
где 1
i
3 — номер детали. Запишем с помощью операций над событиями событие A — ровно две из трёх деталей бракованные = Выше записано буквально следующее либо первая и вторая детали бракованные, а третья годная, либо первая и третья детали бракованные, а вторая годная, либо вторая и третья детали бракованные, а первая годная.
Событие B = означает все три детали годные».
Событие хотя бы одна деталь из трёх бракованная можно записать двумя способами C = A
1
∪ A
2
∪ A
3
= Отношения между событиями. Множества могут пересекаться или не пересекаться, быть включены одно в другое или не быть. В теории вероятностей эти отношения событий носят особые названия.
События A и B называются несовместными , если они не могут произойти одновременно A ∩ B События A
1
, . . . , A
n называются попарно несовместными , если несов- местны любые два из них, те. для любых i = Говорят, что событие A влечёт событие B, и пишут A

B, если всегда,
как только происходит событие A, происходит и событие B. Это означает,
что любой элементарный исход, входящий в множество A, одновременно входит ив множество B, те содержится в Рис. 3. Попарно несовместные и вложенные события
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Два события совпадают, если они состоят из одних и тех же элементарных исходов. Можно выразить это иначе A = B, если A

B и Пример. При бросании двух игральных костей события сумма очков равна четырём» и на первой кости выпало шесть очков несовместны.
Событие сумма очков равна двум влечёт за собой событие на костях выпало одинаковое число очков. Действительно, сумма очков равна двум лишь при выпадении двух единиц. Но тогда на костях выпадет одинаковое число очков. Обратное включение неверно не всегда, когда на костях выпадает одинаковое число очков, сумма этих очков равна двум.
Событие сумма очков меньше пяти влечёт за собой событие сумма очков меньше семи 2. Поле событий
Множество событий может состоять из всех мыслимых подмножеств Ω, но может быть и более узким набором подмножеств. Сужение набора событий бывает необходимо, если является несчётным множеством, и число всех его подмножеств слишком велико тогда возможны проблемы с корректным определением их вероятностей. Мы не будем подробно касаться этих проблемно всё же выделим специальное множество событий, те. набор таких подмножеств Ω, вероятности которых мы зададим впоследствии.
Итак, событиями мы будем называть нелюбые подмножества Ω, а лишь элементы некоторого множества. Необходимо, чтобы это множество F было замкнуто относительно всех операций над событиями, те. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие.
О пределен и е 3. Множество, состоящее из подмножеств множества, называется полем событий, если выполнены следующие условия содержит достоверное и невозможное событие Ω ∈ F,


F;
(A2) вместе с любым событием содержит и противоположное к нему:
если A ∈
F, то A ∈ F;
(A3) вместе с любым конечным или счётным набором событий содержит их объединение и пересечение если A
1
, A
2
, . . . ∈
F, то и

i=1
A
i

F.
П р им ер. Пусть Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика. Следующие наборы подмножеств являются полями событий (доказать ):
1.
F = Ω,

= {1, 2, 3, 4, 5, 6},

— тривиальное поле событий

§ 3. Вероятность и её свойства 2.
F = Ω,

, {1}, {1} = {1, 2, 3, 4, 5, 6},

, {1}, {2, 3, 4, 5, 6} .
3.
F = Ω,

, {1, 2, 3}, {1, 2, 3} = Ω,

, {1, 2, 3}, {4, 5, 6} .
4.
F — множество всех подмножеств Упражнение. Доказать, что если состоит из n элементов, тов множестве всех его подмножеств ровно 2
n элементов.
Итак, мы определили специальный класс подмножеств пространства элементарных исходов Ω, названный полем событий и обладающий важным свойством применение счётного числа любых операций к множествам из
F
снова дает множество из (не выводит за рамки этого класса).
Определим теперь вероятность как числовую функцию, определённую на множестве событий, те. функцию, которая каждому событию ставит в соответствие число — его вероятность 3. Вероятность и её свойства
Пусть даны пространство элементарных исходов и поле событий
F.
О пределен и е 4. Вероятностью или вероятностной мерой называется функция P, действующая изв множество действительных чисел
R
и обладающая свойствами (их называют аксиомами вероятности) 0
P(A)
1 для любого события A;
(P2) Для любого конечного или счётного набора попарно несовместных событий. имеет место равенство) ;
(P3) Вероятность достоверного события равна единице P(Ω) = Напомним, что события попарно несовместны, если никакие два из них не пересекаются. Свойство (P2) для совместных событий может быть не выполнено например, для событий A
1
= A
2
= Ω
P(A
1
∪ A
2
) = P(Ω) = 1 = 2 = P(Ω) + P(Ω) = P(A
1
) + Свойство (P1) означает неотрицательность вероятности, свойство (P3) —
нормированность. Свойство (P2) называют свойством счётной аддитивности вероятности или расширенной аксиомой сложения. Можно переформулировать определение так вероятностью называется неотрицательная,
нормированная, счётно-аддитивная функция событий.
О пределен и е 5. Тройка объектов Ω,
F, P , в которой Ω — пространство элементарных исходов — поле событий и P — вероятностная мера,
называется вероятностным пространством .
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задание вероятностного пространства — первый необходимый шаг при построении математической модели любого эксперимента.
Т е орем а 1. Вероятность обладает следующими свойствами. P(A) = 1 − P(A), P(

) = 0 .
2. Если A

B, то P(A)
P(B) (монотонность вероятности. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) .
4. P(A ∪ B)
P(A) + P(B) .
5. Для любых A
1
, . . . , A
n имеет место формула включения-исключения:
P(A
1
∪ . . . ∪ A
n
) =
n i=1
P(A
i
) −
iP(A
i
A
j
) +
+
iP(A
i
A
j
A
m
) − . . . + (−1)
n−1
P(A
1
A
2
. . . Доказательство. Достоверное событие Ω = A ∪ A есть объединение двух несовместных событий A и A . Из аксиом (P2) и (P3) получим = P(Ω) = P(A) + P(A ),
P(

) = 1 − P(Ω) = 0.
2. Представим событие B в виде объединения двух несовместных событий. По аксиомами поскольку P(B \ A)
0.
3. Событие A ∪ B можно разложить в объединение двух несовместных событий A ∪ B = A ∪ (B \ AB). Событие B = (B \ AB) ∪ AB тоже складывается из двух несовместных событий. По аксиоме (P2) получаем, что P(B) =
= P(B \ AB) + P(AB) и ∪ B) = P(A) + P(B \ AB) = P(A) + P(B) − P(AB).
4. Доказательство очевидно ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)
P(A) + P(B).
5. Докажем свойство 5 для n = 3. Трижды воспользуемся свойством 3:
P(A ∪ B ∪ C) = P (A ∪ B) ∪ C) = P(A ∪ B) + P(C) − P (A ∪ B) ∩ C =
= P(A) + P(B) − P(AB) + P(C) − P AC ∪ BC
=
= P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + Читатель докажет свойство 5 для произвольного n методом математической индукции

§ 4. Контрольные вопросы 4. Контрольные вопросы
1.

  1   2   3   4   5   6   7   8   9


написать администратору сайта