Главная страница
Навигация по странице:

  • Что такое событие Достоверное событие Невозможное событие 9.Что такое объединение двух событий Пересечение

  • Когда дополнение события B до события A является невозможным событием Совпадает с A

  • . Назовите Что такое формулы двойственности 19.Чему равно дополнение к объединению событий 20.В каком случае два события несовместны

  • Когда говорят про попарную несовместность Что это за свойство 22.Чему равно пересечение трёх попарно несовместных событий

  • Каких значений не может принимать вероятность 32.Чему равна вероятность достоверного события Невозможного 33.Что такое нормированность вероятности

  • Что такое неотрицательность вероятности 35.Что такое счётная аддитивность вероятности

  • Что такое монотонность вероятности 39.Как связаны вероятности прямого и противоположного событий

  • Теория вероятностей


    Скачать 1.1 Mb.
    НазваниеТеория вероятностей
    Анкорterver.pdf
    Дата05.04.2017
    Размер1.1 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаterver.pdf
    ТипУчебное пособие
    #402
    страница2 из 9

    Подборка по базе: экономическая теория.docx, Валентина. Теория вероятностей.docx, теория вероятностей.docx, Экономическая теория.docx, Экономическая теория, 1 курс. УМК (Налоги).doc, Лабораторная 5 теория новая.docx, КУРСОВАЯ ТЕОРИЯ МОЯ (Автосохраненный).docx, КУРСОВАЯ ТЕОРИЯ МОЯ (Автосохраненный).docx, Физиология - Теория (билеты - экзамен).docx, Логика Теория аргументации.doc.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9
    Чем случайный эксперимент отличается от детерминированного?
    2.

    Что такое пространство элементарных исходов?
    3.
    Могут ли два элементарных исхода одновременно случиться в опыте. Игральную кость подбрасывают один раз. Перечислить все элементарные исходы эксперимента.
    5.
    Игральную кость подбрасывают дважды. Перечислить все элементарные исходы эксперимента. Монету подбрасывают трижды. Перечислить все элементарные исходы эксперимента.
    7.
    Из четырёх разных книг на полке берут две. Перечислить все элементарные исходы эксперимента.
    8.

    Что такое событие Достоверное событие Невозможное событие?
    9.

    Что такое объединение двух событий Пересечение?
    10.
    Записать событие, состоящее в том, что из событий A, B, C произошло хотя бы одно.
    11.
    Записать событие, состоящее в том, что из событий A, B, C не произошло хотя бы одно.
    12.
    Записать событие, состоящее в том, что случились все три события, B, C одновременно.
    13.
    Записать событие, состоящее в том, что событие A произошло, а события B и C не произошли.
    14.

    Когда дополнение события B до события A является невозможным событием Совпадает с A ?
    15. Что дают в объединении событие и противоположное к нему В пересечении Пусть A = Ω. Назовите Пусть A =


    . Назовите Что такое формулы двойственности?
    19.

    Чему равно дополнение к объединению событий?
    20.

    В каком случае два события несовместны?
    21.

    Когда говорят про попарную несовместность Что это за свойство?
    22.

    Чему равно пересечение трёх попарно несовместных событий?
    23.

    Что больше объединение или пересечение событий?
    24.
    Объединение двух событий влечёт их пересечение или наоборот = {1, 2}, B = {1}. Какое из отношений верно A

    B или Дайте определение поля событий.
    27.
    Является ли множество всех подмножеств полем событий
    ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
    28.
    Может ли поле событий состоять из одного события Из двух Из трёх? Из четырёх? Если может, привести примеры.
    29.
    Докажите, что A \ B ∈
    F, если A, B ∈ Укажите область определения и область значений вероятностной ме- ры.
    31.

    Каких значений не может принимать вероятность?
    32.

    Чему равна вероятность достоверного события Невозможного?
    33.

    Что такое нормированность вероятности?
    34.

    Что такое неотрицательность вероятности?
    35.

    Что такое счётная аддитивность вероятности?
    36.

    Зачем в свойстве счётной аддитивности требуется попарная несовместность событий?
    37.

    Чему равна вероятность объединения двух произвольных событий?
    38.

    Что такое монотонность вероятности?
    39.

    Как связаны вероятности прямого и противоположного событий?
    40.
    Что больше вероятность объединения или сумма вероятностей Когда эти числа равны
    ГЛАВА ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
    В этой главе мы опишем все практически значимые виды вероятностных пространств и способы задания вероятности на них. Вероятность по своим свойствам подобна массе. Килограмм массы можно распределить, либо поместив положительную массу в каждую точку некоторого дискретного множества точек, либо
    «размазав» весь килограмм по некоторому непрерывному множеству точек 1. Дискретное пространство элементарных исходов
    Пространство элементарных исходов называется дискретным , если множество конечно или счётно: Ω = {
    ω
    1
    ,
    ω
    2
    , . . . ,
    ω
    n
    , . . . Так, все эксперименты из примеров главы, кроме примера, приводят к дискретным пространствам элементарных исходов.
    Событием на таком пространстве будем считать любое подмножество Чтобы определить вероятность события, присвоим вероятность каждому элементарному исходу в отдельности. Иначе говоря, снабдим вероятностями мельчайшие кирпичики — элементарные исходы, из которых составляется любое событие. Тогда вероятность любого события определяется как сумма вероятностей входящих в него элементарных исходов.
    О пределен и е 6. Сопоставим каждому исходу число p i
    ∈ [0, так, чтобы p
    1
    + p
    2
    + . . . = 1. Вероятностью события A называется число) =
    ω
    i
    ∈ A
    p равное сумме вероятностей элементарных исходов, входящих в множество В случае A положим P(A) = 0.
    Приведём пример задания вероятностей на дискретном пространстве.
    П р им ер. В эксперименте из примера
    5
    монета подбрасывается до первого выпадения герба. Присвоим элементарным исходам следующие веро- ятности:
    ω
    i
    :
    г,
    рг, ррг, рррг, . . .
    p i
    :
    1 2
    ,
    1 4
    ,
    1 8
    ,
    1 16
    ,
    ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
    Легко проверить, что сумма вероятностей элементарных исходов равна 1 по формуле суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии+ p
    2
    + . . . =

    i=1 1
    2
    i
    =
    1
    /
    2 1 − 1
    /
    2
    = Вероятность cобытия A = {
    ω
    2
    ,
    ω
    4
    , . . .} (герб выпал при броске сч тным номером) равна) = p
    2
    + p
    4
    + . . . =

    i=1 1
    2 2i
    =
    1
    /
    4 1 − 1
    /
    4
    =
    1 Заданные выше вероятности соответствуют, как мы увидим в дальнейшем,
    подбрасыванию правильной монеты. Можно было задать вероятности как- нибудь иначе например, p i
    = 2
    i−1
    / 3
    i
    . Такие вероятности отвечали бы бросанию утяжелённой монеты, герб на которой выпадает в среднем водном случае из трёх.
    Внимательный читатель уже заметил, что если множество Ω счётно, ноне конечно, присвоить всем элементарным исходам одну и туже вероятность нельзя (почему ?). Для конечного же множества всегда возможно задать одинаковые вероятности исходов, что мы сейчас и сделаем.
    Классическая вероятность. Частным, но часто встречающимся в жизни случаем дискретного вероятностного пространства является классическая вероятностная схема.
    Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа элементов Ω = {
    ω
    1
    ,
    ω
    2
    , . . . ,
    ω
    N
    }, и из каких-то соображений можем считать элементарные исходы равновозможны- ми . Равновозможность возникает обычно в силу симметрии в эксперименте
    (симметричная монета, хорошо перемешанная колода карт, правильная игральная кость, отсутствие оснований предпочесть один результат другому).
    Говорят, что эксперимент описывается классической вероятностной моделью, если пространство его элементарных исходов состоит из конечного числа равновозможных исходов.
    Тогда вероятность любого элементарного исхода равна. Если событие = {
    ω
    i
    1
    , . . . ,
    ω
    i k
    } состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равна отношению k
    N
    :
    P(A) = p i
    1
    + . . . + p i
    k
    = k Здесь символом |A| обозначено число элементов конечного множества A.

    § 1. Дискретное пространство элементарных исходов
    23
    Формулу P(A) называют классическим определением вероятности и читают так вероятность события A равна отношению числа исходов,
    благоприятствующих событию A, к общему числу равновозможных исходов. Полезно сравнить это определение с формулировкой автора определения, Я. Бернулли Вероятность есть степень достоверности и отличается от неё как часть от целого («Ars Conjectandi», 1713 г.)
    Мы видим, что вычисление вероятности в классической схеме сводится к подсчёту общего числа шансов и числа шансов, благоприятствующих событию. Число шансов считают с помощью формул комбинаторики. Читатель, желающий освежить в памяти эти формулы, может сейчас же обратиться к следующему параграфу, где объяснены основные принципы и формулы комбинаторики, после чего вернуться к нам.
    А мы пока рассмотрим стандартные урновые схемы из n шаров выбирают шаров. Будем исходить из предположения о том, что появление любого шара равновозможно. Тогда три схемы схема выбора с возвращением и с уч- том порядка, выбора без возвращения и с учётом порядка, а также выбора без возвращения и без учёта порядка, описываются классической вероятностной моделью. Общее число равновозможных элементарных исходов в этих схемах равно соответственно n k
    , A
    k и C
    k Как показывает следующий пример, последняя схема — схема выбора с возвращением и без учёта порядка — имеет неравновозможные исходы. Поэтому классическое определение вероятности для неё не применимо.
    П р им ер. Рассмотрим выбор двух шариков из двух или, что тоже самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится четыре, и все они равновозможны, те. имеют вероятность по герб, герб, (решка, решка, (решка, герб, (герб, решка).
    Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одними тем же результатом эксперимента и получить не четыре, а три исхода:
    (два герба, (две решки, (один герб и одна решка).
    Первые два исхода имеют вероятности по 4
    , а вероятность последнего равна. Видим, что при выборе с возвращением и без учёта порядка элементарные исходы оказываются неравновозможными.
    У пр аж не ни е . Сравнить примеры
    2
    и
    3
    . В каком из них перечислены равновозможные элементарные исходы Найти вероятности всех элементарных исходов в примере. Равны ли они 21
    ?
    ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
    В следующем примере разобрана классическая задача, приводящая к так называемому гипергеометрическому распределению Пример. Из урны, в которой K белых и N − K чёрных шаров, наудачу и без возвращения вынимают n шаров, где n
    N. Термин «наудачу»
    означает, что появление любого набора из n шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано k белых и n − k чёрных шаров.
    Р е ш е ни е. Результат эксперимента — какой-то набор из n шаров. Можно не учитывать порядок следования шаров в наборе. Общее число элементарных исходов есть число n -элементных подмножеств множества, состоящего из N элементов |Ω| = C
    n
    N
    . Обозначим через A
    k событие, состоящее в том,
    что в наборе окажется k белых шаров и n − k чёрных. Пусть k
    K и n − k
    N − K, иначе P(A
    k
    ) = 0.
    K
    N

    K
    k Рис. 4. Выбор n шаров из Есть ровно способов выбрать k белых шаров из K и C
    n−k
    N способов выбрать n − k чёрных шаров из N − K. Каждый возможный набор выбранных белых шаров можно комбинировать с каждым возможным набором чёрных. Поэтому число благоприятных исходов равно |A
    k
    | = C
    k
    K
    C
    n−k
    N −K
    ,
    P(A
    k
    ) =
    |A
    k
    |
    | Ω |
    =
    C
    k
    K
    C
    n−k
    N Вычисляя вероятность событий A
    k
    , мы сопоставили каждому набору из k белых и n − k чёрных шаров вероятность получить этот набор при выборе шаров из урны. Набор вероятностей (
    4
    ) называется гипергеометрическим распределением вероятностей.
    Здесь мы в первый, но далеко не в последний раз встретились с термином распределение вероятностей. Это слово всегда обозначает некий способ разделить (распределить) общую единичную вероятность между какими-то точками или множествами на числовой прямой.
    П р им ер. Из полной колоды в 52 карты наудачу выбирают 6 карт.
    Найти вероятность того, что будут выбраны хотя бы две бубновых карты.
    Р е ш е ни е. Элементарными исходами будут всевозможные наборы по карт. Их количество равно |Ω| = C
    6 52

    § 1. Дискретное пространство элементарных исходов
    25
    Обозначим через A событие среди выбранных карт окажутся хотя бы две бубновых карты. Это событие можно представить в виде объединения попарно несовместных событий A
    2
    , . . . , A
    6
    , где событие A
    i означает, что среди выбранных карт окажется ровно i карт бубновой масти. Вероятность каждого из событий A
    i ищется по формуле (
    4
    ): P(A
    i
    ) = C
    i
    13
    C
    6−i
    52−13
    / C
    6 52
    . По аксиоме, вероятность события A равна сумме вероятностей событий A
    i
    :
    P(A) = P(A
    2
    ∪ . . . ∪ A
    6
    ) =
    C
    2 13
    C
    4 39
    C
    6 52
    +
    C
    3 13
    C
    3 39
    C
    6 52
    +
    C
    4 13
    C
    2 39
    C
    6 52
    +
    C
    5 13
    C
    1 39
    C
    6 52
    +
    C
    6 13
    C
    6 Есть более простое решение P(A) = 1 − P(A ), где событие A означает,
    что выбрано не более одной карты масти бубей. Его вероятность равна ) = P(A
    0
    ∪ A
    1
    ) = P(A
    0
    ) + P(A
    1
    ) =
    C
    6 39
    C
    6 52
    +
    C
    1 13
    C
    5 39
    C
    6 Пример. На пяти карточках написаны буквы А, А, Л, М, П. Найти вероятность того, что при случайной расстановке этих карточек вряд получится слово ЛАМПА.
    Р е ш е ни е. Всего возможно |Ω| = 5! перестановок карточек. Заметим,
    что перестановка двух карточек с буквой Ане меняет слова. Поэтому есть два благоприятных исхода ЛА
    1
    МПА
    2
    и ЛАМПА. Вероятность получить нужное слово равна 5!
    =
    1 Пример. Игральная кость подбрасывается трижды. Найти вероятность получить в сумме 5 очков.
    Р е ш е ни е. Общее число равновозможных элементарных исходов есть = 6 3
    . Сумма очков равна 5, если на двух костях выпали двойки, и на одной — единица, либо на двух костях выпали единицы и на одной — тройка.
    Каждому из этих событий благоприятствуют 3 исхода. Например, первое событие состоит из исходов (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2). Поэтому есть всего благоприятных исходов, и искомая вероятность равна 6
    3
    =
    1 36
    Приведём пример задачи, для решения которой проще всего воспользоваться формулой включения-исключения Пример (задача о рассеянной секретарше. Есть n писем и n подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу по одному.
    Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадёт в нужный конверт.
    Р е ш е ни е. Пусть событие A
    i
    , i = 1, . . . , n, означает, что i -е письмо попало в свой конверт. Тогда = хотя бы одно письмо попало в свой конверт = A
    1
    ∪ . . . ∪ A
    n
    ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
    События A
    1
    , . . . , A
    n совместны, поэтому вычислим вероятность их объединения по формуле (
    2
    ). Сначала найдём вероятности всех событий A
    i и
    их пересечений. Элементарными исходами будут всевозможные n! размеще- ний n писем по n конвертам. Событию A
    i благоприятны (n − 1)! из них всевозможные размещения всех писем, кроме i -го, уже лежащего в своём конверте. Поэтому P(A
    i
    ) =
    (n − 1)!
    n!
    =
    1
    n
    — одна и та же для всех i. Аналогично получим, что для любых пари троек конвертов) =
    (n − 2)!
    n!
    =
    1
    n(n − 1)
    ,
    P(A
    i
    A
    j
    A
    m
    ) =
    1
    n(n − 1)(n − Точно также посчитаем вероятности пересечений любого другого числа событий, в том числе P(A
    1
    . . . A
    n
    ) Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в формуле (
    2
    ). Например, сумма по 1
    i < j < m n состоит из C
    3
    n слагаемых — ровно столько троек индексов можно образовать из n номеров событий. Подставляя все вероятности в формулу, получим) = n ·
    1
    n
    − C
    2
    n
    ·
    1
    n(n − 1)
    + C
    3
    n
    ·
    1
    n(n − 1)(n − 2)
    − . . . + (−1)
    n−1 1
    n!
    =
    = 1 −
    1 2!
    +
    1 3!
    − . . . + (−1)
    n−1 Упражнение. Выписать разложение вряд Тейлора и убедиться в том, что P(A) −→ 1 − при n → ∞ Пример (задача про дни рождения. Найти вероятность того, что в группе из 23 человек хотя бы у двоих совпадают дни рождения. Предполагается, что день рождения человека приходится на любой из 365 дней года с равной вероятностью.
    Р е ш е ни е. День рождения каждого изданных человек — любой из возможных. Всего элементарных исходов |Ω| = 365 23
    . Действительно,
    для первого дня рождения есть 365 вариантов, при любом ихних для второго дня рождения снова 365 вариантов, итак раза.
    Противоположное событие A означает, что все 23 дня рождения пришлись на разные дни года. Исходов, благоприятных этому событию, имеется ровно |A| = 365 · 364 · . . . · 343 = A
    23 365
    . Искомая вероятность равна) = 1 − P(A) = 1 −
    365 · . . . · 343 365 23
    = 1 −
    364 365
    ·
    363 365
    · . . . ·
    343 365
    ≈ 0, Итак, с вероятностью не менее 0,5 в группе из 23 человек найдутся совпадающие дни рождения. Читатель вычислит туже вероятность для группы из 22 человек и убедится, что она ещё не превышает половины

    § 2. Основные формулы комбинаторики 2. Основные формулы комбинаторики
    В этом параграфе изложены основные принципы и формулы комбинаторики. Именно комбинаторика занимается подсчётом числа способов проделать некоторое действие с несколькими возможными результатами выбрать что-либо, разбить множество на части, составить набор объектов и т. п.
    Принцип перемножения. Основной принцип комбинаторики заключается в следующем если первый элемент можно выбрать k способами, а второй элемент — m способами, то упорядоченную пару элементов можно составить km способами.
    Т е орем а 2. Пусть множество A = {a
    1
    , . . . , a k
    } состоит из k элементов, а множество B = {b
    1
    , . . . , b m
    } — из m элементов. Тогда можно образовать ровно km пар (a i
    , b j
    ), взяв первый элемент из множества а второй — из множества Доказательство. С элементом мы можем образовать m пар, b
    1
    ), (a
    1
    , b
    2
    ), . . . , (a
    1
    , b m
    ). Столько же пар можно составить с элементом a
    2
    , столько же — с элементом и с любым другим из k элементов множества. Те. всего возможно km пар, в которых первый элемент выбран из множества A, а второй — из множества Упражнение. С помощью теоремы
    2
    доказать, что:
    а) при подбрасывании трёх монет возможно 2 · 2 · 2 = 8 результатов;
    б) бросая дважды игральную кость, получим 6 · 6 = 36 результатов;
    в) трёхзначных чисел бывает 9 · 10 · 10 = 900 г) трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 · 9 · 8 д) чётных трёхзначных чисел возможно 9 · 10 · 5 ;
    Урновые схемы. Есть урна (ящик, содержащая n пронумерованных объектов (шаров. Мы выбираем из урны k шаров результат этого выбора набор из k шаров. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать k шаров из n, или сколько различных результатов возможно.
    На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы неопределим- ся: ас тем, как организован выбор (можно ли шары возвращать в урну);
    б) стем, что понимать под различными результатами выбора.
    Рассмотрим следующие возможные способы выбора. Выбор с возвращением : каждый вынутый шар возвращается в урну,
    каждый следующий шар выбирается из полной урны. В полученном наборе из k номеров шаров могут встречаться одни и те же номера. Выбор без возвращения : вынутые шары в урну не возвращаются, ив полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера
    ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
    Условимся, какие результаты выбора (наборы из k номеров шаров) мы будем считать различными. Есть ровно две возможности. Выбор с учётом порядка : два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров. Так, наборы, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) считаются разными, если порядок учитывается. Выбор без учёта порядка : два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Так, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, не различаются, если порядок не учитывается.
    Подсчитаем, сколько возможно различных результатов для каждой из че- тырёх схем выбора.
    Выбор без возвращения и с учётом порядка. Справдливо утверждение.
    Т е орем а 3. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n без возвращения и с учётом порядка равняется n
    = n(n − 1) · . . . · (n − k + 1) =
    n!
    (n − Число A
    k называется числом размещений из n элементов по k элементов, асами результаты выбора — размещениями (без повторений).
    Д ока за тел ь ст во. Первый шар можно выбрать n способами. При любом выборе первого шара есть n − 1 способ выбрать второй шар. При любом выборе первых двух шаров есть n − 2 способа выбрать третий шарит. д.
    Применяя последовательно теорему
    2
    (принцип перемножения, получим, что общее число возможных наборов из k шаров равно произведению k сомножителей. В этом произведении последний сомножитель n − k + 1 есть число способов выбора k -го шара, когда уже выбраны преды- дущие.
    С лед ст в и е 1. В множестве из n элементов возможно ровно n! перестановок этих элементов.
    Д ока за тел ь ст во. Перестановка — результат выбора без возвращения и с учётом порядка n элементов из n . Их число равно A
    n n
    = Упражнение. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:
    а) из колоды в 36 карт выдают по карте троим игрокам;
    б) Вася, Петя, Оля и Лена выбирают четыре из десяти разных учебников;
    в) из различных цифр, неравных нулю, составляется трёхзначное число;
    г) 36 карт в колоде перемешиваются и выкладываются на стол в ряд.
    Выбор без возвращения и без учёта порядка. Следующее утверждение дат число результатов этой схемы выбора

    § 3. Вероятность на числовой прямой и плоскости
    29
    Т е орем а 4. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n без возвращения и без учёта порядка равняется n
    =
    A
    k n
    k!
    =
    n!
    k!(n − Число C
    k называется числом сочетаний из n элементов по k элементов,
    а сами результаты выбора — сочетаниями.
    Д ока за тел ь ст во. Последствию различных номеров шаров можно упорядочить k! способами. Поэтому из каждого сочетания можно перестановками образовать k! размещений . Следовательно, число наборов, порядок в которых не учитывается (сочетаний, враз меньше числа наборов,
    отличающихся ещё и порядком (размещений).
    У пр аж не ни е . Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:
    а) из колоды в 36 карт выдают три карты одному игроку;
    б) из двадцати учеников класса выбирают троих дежурных.
    Выбор с возвращением и с учётом порядка. Результаты такой схемы выбора называют размещениями с повторением.
    Т е орем а 5. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n с возвращением и с учётом порядка равняется n Доказательство. Первый шар можно выбрать n способами. При каждом из этих способов второй шар можно выбрать также n способами,
    и так k раз. Общее число наборов равно n · n · . . . · n = n Упражнение. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:
    а) монета подбрасывается пять раз;
    б) пятизначное число составляется из одних нечётных цифр.
    Выбор с возвращением и без учёта порядка. Сформулируем без доказательства утверждение.
    Т е орем а 6. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n с возвращением и без учёта порядка равняется n+k−1
    = Читателю полезно вернуться к примеру, где показана неравновозмож- ность элементарных исходов при выборе с возвращением и без учёта порядка.
    У пр аж не ни е Найти число возможных результатов подбрасывания двух игральных костей, если кости считаются неразличимыми. Тоже самое для трёх игральных костей
    ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 3. Вероятность на числовой прямой и плоскости
    Результаты многих экспериментов нельзя описать дискретным множеством точек. Например, бросание монеты на стол в примере
    4
    приводит к пространству элементарных исходов, совпадающему с множеством точек стола.
    Дальность броска копья спортсменом — величина с положительными значениями на числовой прямой, и т. д.
    Рассмотрим пространство элементарных исходов Ω =
    R
    k
    . Нас будут особо интересовать случаи, когда есть множество действительных чисел
    R
    или множество точек плоскости. Эти пространства не являются дискретными они состоят из несчётного множества точек, и присвоить положительную вероятность каждой точке нельзя. Как же задавать вероятности событий на таком пространстве элементарных исходов?
    Например, так. В случае рассмотрим произвольную неотрицательную интегрируемую функцию f , обладающую тем свойством, что (x) dx = Интеграл в формуле (
    5
    ) равен площади области под графиком функции выше оси абсцисс. Определим вероятность любого интервала или отрезка A = [a, как площадь криволинейной трапеции под x
    b Рис. 5. Плотность в графиком функции f над этим интервалом или отрезком = [a, b],
    P(A) =
    b a
    f (x) Условие (
    5
    ) означает просто нормирован- ность вероятности P(Ω) = P(
    R
    ) = Функцию f называют плотностью распределения вероятностей. Можно представлять себе, что с такой плотностью общая единичная масса (вероятность) размазана по прямой, подобно маслу на бутерброде. Большие значения плотности означают большую массу соответствующего участка прямой,
    нулевые значения плотности на отрезке отвечают отсутствию массы.
    Аддитивность интеграла позволяет нам вычислять вероятности любых конечных и счётных объединений отрезков. Интересно, что вероятность любой точки на прямой — одного элементарного исхода — оказывается нулевой т. к. площадь трапеции шириной в точку под графиком f равна нулю

    § 3. Вероятность на числовой прямой и плоскости
    31
    П р им ер. Пусть Ω =
    R
    , а плотность распределения имеет вид f (x) если если x < Вычислим поданной плотности f (читатель проверит выполнение условия) вероятности отрезков [0, 1] и [1, 2]:
    P [0, 1] =
    1 0
    5e
    −5x dx = 1 − e
    −5
    ,
    P [1, 2] =
    2 1
    5e
    −5x dx = e
    −5
    − e
    −10
    x
    1 0
    5
    f
    (x)
    x
    2 1
    0 Рис. 6. Вероятности отрезков в примере
    19
    Вероятности двух отрезков, имеющих одну и туже длину, оказываются различными. А возможно ли задать плотность распределения так, чтобы вероятность зависела лишь от длины отрезка?
    П р им ер. Рассмотрим плотность распределения f (x) если если x ∈ [0, 5].
    x
    3 2
    0 5
    0,2
    f
    (x)
    x
    2 1
    0 Рис. 7. Вероятности отрезков в примере
    20
    Выполнение условия (
    5
    ) здесь очевидно площадь прямоугольника со сторонами и 0,2 равна 1. При такой плотности вероятность любого отрезка зависит не от положения этого отрезка внутри [0, 5], а лишь от его длины и пропорциональна ей. Заметим также, что вероятность любого множества,
    не пересекающегося с отрезком [0, 5], равна нулю. Поэтому множество можно сузить до [0, 5].
    ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ
    В случае задать вероятности подмножеств плоскости можно с помощью неотрицательной интегрируемой функции двух переменных f (x, нормированной так, что (x, y) dy = Подобно одномерному случаю, вероятности прямоугольников и многих f
    (x, y)
    x Рис. 8. Плотность в более сложных областей на плоскости определяются как объём криволинейного цилиндра над соответствующей областью под графиком функции) =
    B
    f (x, y) dx Если множество

    совпадает с пространством, вероятность можно задать с помощью неотрицательной интегрируемой функции трёх переменных. Наконец, для Ω =
    R
    k нам потребуется функция k переменных.
    Геометрическое определение вероятности. Рассмотрим отдельно задание вероятности на ограниченном подмножестве прямой, плоскости или пространства, когда вероятностная масса распределена по области равномерно, как в примере
    20
    Предположим, что мера области длина на прямой, площадь на плоскости, объём в пространстве) конечна, а эксперимент состоит в бросании точки в эту область наудачу . Термин наудачу означает, что для любого множества с конечной мерой) вероятность точке попасть в это множество не зависит от его формы или его расположения внутри Ω, а зависит лишь от его меры и пропорциональна ей.
    Для такого эксперимента вероятности определяются согласно геометрическому определению вероятности :
    P(A) Если точка в области выбирается наудачу, то говорят, что она равномерно распределена в области Ω. Так, в примере
    20
    точка равномерно распределена на отрезке [0, 5]. А чтобы, скажем, получить равномерное распределение в круге, следует рассмотреть плотность распределения f (x, y), равную нулю

    § 3. Вероятность на числовой прямой и плоскости
    33
    вне круга и постоянную внутри него. Значение этой постоянной зависит от площади круга и обратно пропорционально ей.
    П р им ер (задача о встрече. Два человека X и Y условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?
    Р е ш е ни е. Будем считать интервал от двух до трёх часов дня отрезком, 1] длиной в один час. Обозначим через [0, 1] и [0, 1] моменты прихода X ив течение этого часа. Результатами эксперимента являются пары точек) из единичного квадрата {(
    ξ
    ,
    η
    ) | 0
    ξ
    1, Благоприятными исходами будут точки заштрихованного на рисунке множества A :
    A = {(
    ξ
    ,
    η
    ) | Попадание в множество A наудачу брошен −
    1/
    6
    ξ
    η
    1
    /6 1
    1
    /6 Рис. 9. Задача о встрече ной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся. Тогда вероятность встречи равна) =
    µ
    (A)
    µ
    (Ω)
    =
    1 −
    5 6
    2 1
    =
    11 Пример. Точка наудачу бросается вкруг единичным радиусом.
    Найти вероятность того, что расстояние
    ρ
    до точки от центра круга будет меньше заданного числа r ∈ (0, 1) Решение. Интересующее нас событие {
    ρ
    < r} происходит, когда точка попадает во внутренний круг с радиусом r и тем же центром. По формуле (вероятность этого события равна отношению площадей кругов r) =
    π
    r
    2
    π
    = Заметим, что расстояние
    ρ
    до брошенной вкруг точки распределено неравномерно на отрезке [0, 1]. Для равномерного распределения мы получили бы вероятность P(
    ρ
    < r) = r, а не r
    2
    ГЛАВА II. ПРИМЕРЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРОСТРАНСТВ 4. Контрольные вопросы
    1.

    1   2   3   4   5   6   7   8   9


    написать администратору сайта