Главная страница
Навигация по странице:

  • Бернулли 4.Какова вероятность получить сначала пять успехов, а затем пять неудач в десяти испытаниях схемы Бернулли

  • Какова вероятность номеру первого успеха быть больше пяти 8.Что такое биномиальное распределение 9.Чему равна сумма по всем k вероятностей в формуле Бернулли

  • Что такое геометрическое распределение 11.Чему равна сумма вероятностей в геометрическом распределении 12.Что такое отсутствие последействия

  • Для чего нужна теорема Пуассона

  • В какой точке функция) достигает наибольшего значения

  • Для чего нужны случайные величины 2.Что такое случайная величина

  • Совпадают ли количества очков при первом и при втором броске игральной кости Одинаковы ли распределения этих случайных величин

  • Что такое плотность распределения

  • > 3) для случайной величины с абсолютно непрерывным распределением

  • Что такое функция распределения случайной величины

  • Как выглядит функция распределения дискретного распределения

  • Теория вероятностей


    Скачать 1.1 Mb.
    НазваниеТеория вероятностей
    Анкорterver.pdf
    Дата05.04.2017
    Размер1.1 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаterver.pdf
    ТипУчебное пособие
    #402
    страница4 из 9

    Подборка по базе: Валентина. Теория вероятностей.docx, теория вероятностей.docx, Экономическая теория.docx, Экономическая теория, 1 курс. УМК (Налоги).doc, Лабораторная 5 теория новая.docx, КУРСОВАЯ ТЕОРИЯ МОЯ (Автосохраненный).docx, КУРСОВАЯ ТЕОРИЯ МОЯ (Автосохраненный).docx, Физиология - Теория (билеты - экзамен).docx, Логика Теория аргументации.doc, титульник теория принятия решений.docx.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9
    Что такое схема Бернулли?
    2.
    Какова вероятность получить пять успехов в пяти испытаниях схемы
    Бернулли? Пять неудач. Какова вероятность получить пять успехов в десяти испытаниях схемы

    Бернулли?
    4.

    Какова вероятность получить сначала пять успехов, а затем пять неудач в десяти испытаниях схемы Бернулли?
    5.

    Почему в формуле Бернулли присутствует число сочетаний?
    6.

    Какова вероятность первому успеху случиться в первом испытании?
    В пятом?
    7.

    Какова вероятность номеру первого успеха быть больше пяти?
    8.

    Что такое биномиальное распределение?
    9.

    Чему равна сумма по всем k вероятностей в формуле Бернулли?
    10.

    Что такое геометрическое распределение?
    11.

    Чему равна сумма вероятностей в геометрическом распределении?
    12.

    Что такое отсутствие последействия?
    13.

    Для чего нужна теорема Пуассона?
    14.
    Можно ли пользоваться теоремой Пуассона при n = 100, p = Чем по теореме Пуассона можно приблизить вероятность иметь хотя бы один успех в 1 000 испытаний с вероятностью успеха Для чего нужна локальная теорема Муавра — Лапласа?
    17.
    Для чего нужна интегральная теорема Муавра — Лапласа. Можно ли пользоваться теоремами Муавра — Лапласа при n = 100 и p = 0,5? А при n = 100 и p = Как вычислять значения функции Φ(x) Приведите пример задачи, для решения которой необходима интегральная теорема Муавра — Лапласа.
    21.
    Приведите пример задачи, для решения которой необходима локальная теорема Муавра — Лапласа.
    22.

    В какой точке функция) достигает наибольшего значения?
    23.
    При каком k максимальна вероятность получить k успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли. По какой формуле можно вычислить вероятность при шести бросани- ях игральной кости выбросить по разу каждое число очков на кости
    ГЛАВА СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    Мы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различий в подсчё- те вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. С вероятностью 0,5 при броске монеты выпадает герб,
    на игральной кости — чётное число очков, точка падает на левую половину отрезка, вынутая из колоды карта оказывается красной и т. д. Пора во всех таких
    «похожих» экспериментах для обозначения элементарных исходов использовать,
    например, числа. Иначе говоря, пора каждый элементарный исход заменить действительным числом, необязательно уникальными работать только с числами 1. Случайные величины
    Пусть задано вероятностное пространство Ω,
    F, P Определение. Случайной величиной называется функция, которая каждому элементарному исходу ставит в соответствие действительное число, те. функция, действующая изв Случайные величины мы будем обозначать греческими буквами:
    ξ
    (кси),
    η
    (эта),
    χ
    (хи),
    ν
    (ню),
    τ
    (тау),
    ψ
    (пси) и др.
    Корректности ради от случайных величин требуют так называемой измеримости. А именно, требуют, чтобы для любого действительного числа x множество элементарных исходов, для которых) < x, принадлежало полю событий. Но функции, не обладающие этим свойством, являются исключительно редкими и экзотическими объектами, поэтому нигде больше мы измеримость упоминать не будем.
    П р им ер. Подбрасывают один раз правильную игральную кость. Рассмотрим и определим следующие случайные величины) =
    ω
    : эта случайная величина равна числу выпавших на кости очков) = 1, если 2, 4, 6, иначе) = 0 : эта случайная величина служит индикатором того, выпало ли на кости чётное или нечётное число очков.
    В первом случае она становится равна единице, во втором — нулю.
    Случайная величина
    ξ
    принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностями по одной шестой каждое. Например 1, когда на кости выпало одно оч-
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    ко, тес вероятностью 6
    . Можно записать соответствие между значениями случайной величины
    ξ
    и вероятностями принимать эти значения в виде таблицы распределения вероятностей или, коротко, таблицы распределения :
    ξ
    1 2
    3 4
    5 6
    P
    1 6
    1 6
    1 6
    1 6
    1 6
    1 Впервой строке таблицы перечислены значения случайной величины, во второй строке — вероятности, с которыми она принимает эти значения 1) = P(
    ξ
    = 2) = . . . = P(
    ξ
    = 6) =
    1 Для случайной величины
    η
    таблица распределения выглядит так 0) = выпало 1, 3 или 5 очков) = 0,5;
    P(
    η
    = 1) = выпало 2, 4 или 6 очков) = Пример. Стержень длиной 5 см ломается на две части в наудачу выбранном месте. Длину каждого из полученных обломков можно считать случайной величиной, принимающей любые значения из отрезка [0, 5]. Если длина левой части стержня, то 5 −
    ξ
    — длина правой.
    Пользуясь геометрической вероятностью, мы можем вычислить вероятности различных событий, связанных со случайными величинами
    ξ
    и
    η
    , как это делалось в примерена стр.
    31
    Например, P(1
    ξ
    2) = 0,2 — вероятность того, что длина левой части окажется от 1 до 2 см, P(
    η
    3) = 0,4 — вероятность правому обломку быть длиннее 3 см, P(
    ξ
    = 2) = 0 — вероятность поделить стержень на части ровно в 2 и 3 см длиной, P(
    η
    6) = 0 — вероятность невозможного события.
    П р им ер. Правильная монета подбрасывается 10 раз. Случайная величина из примера
    34
    на стр.
    44
    равна количеству выпавших гербов.
    Эта случайная величина принимает целые значения от 0 до 10. В примере вычислены некоторые вероятности, связанные с ней 4) = P(
    ν
    10
    = 6) ≈ 0,205,
    P(
    ν
    10
    = 5) ≈ Можно записать все вероятности по формуле Бернулли для k = 0, 1, . . . , 10
    P(
    ν
    n
    = k) = C
    k
    10
    · 0,5 10
    Из-за симметрии монеты число выпавших решек имеет такое же распределение с такой же таблицей распределения

    § 2. Распределения случайных величин 2. Распределения случайных величин
    Опишем различные типы распределений случайных величин. Случайная величина может принимать отдельные значения, те. вся вероятностная масса может быть сосредоточена в нескольких точках прямой. Случайная величина может принимать любые значения из некоторого интервала или отрезка, т. е.
    вероятностная масса может быть размазана по некоторому интервалу или по всей прямой. В зависимости от этого распределения делят на дискретные,
    абсолютно непрерывные и их смеси.
    Мы ограничимся в основном первыми двумя видами распределений.
    О пределен и е 13. Cлучайная величина
    ξ
    имеет дискретное распределение, если существует конечный или счётный набор чисел a
    1
    , a
    2
    , . . . и набор вероятностей p
    1
    = P(
    ξ
    = a
    1
    ), p
    2
    = P(
    ξ
    = a
    2
    ), . . . таких, что p
    1
    + p
    2
    + . . . = Итак, случайная величина
    ξ
    имеет дискретное распределение, если множество её значений конечно или счётно. Если случайная величина
    ξ
    имеет дискретное распределение, то для любого подмножества прямой B

    R
    P(
    ξ
    ∈ B) =
    a i
    ∈ B
    P(
    ξ
    = a Дискретное распределение удобно задавать следующей таблицей, в которой) Случайные величины из примеров
    40
    и
    42
    имеют дискретные распределения, в отличие от случайных величин из примера. Они имеют абсолютно непрерывные распределения.
    О пределен и е 14. Cлучайная величина
    ξ
    имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция f (x) такая,
    что для любого интервала (a, b) имеет место равенство <
    ξ
    < b) =
    b a
    f (x) Функция f (x) называется плотностью распределения.
    Если нам будет нужно различать плотности распределения разных случайных величин, мы будем использовать обозначения f
    ξ
    (x), f
    η
    (x) и т. д.
    Мы уже встречались в §
    3
    главы
    II
    с плотностями распределения. Определение напоминает, что для случайной величины
    ξ
    с плотностью рас
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    пределения f (x) вероятность принимать значения внутри любого интервала вычисляется как площадь под графиком f (x) над этим интервалом.
    Т е орем а 18. Любая плотность распределения обладает свойствами) f (x)
    0 для любого x;
    (f2)

    −∞
    f (x) dx = Доказательство. Свойство (f1) выполнено по определению, свойство) также следует из него = P(−∞ <
    ξ
    < ∞) =

    −∞
    f (x) Свойство (f2) означает, что для любой плотности распределения площадь всей области под графиком плотности распределения выше оси абсцисс равна единице. Заметим, что любая функция, удовлетворяющая (f1) и (f2), является плотностью распределения некоторой случайной величины 3. Функция распределения и её свойства
    Определение и примеры. Мы описали дискретные распределения таблицей распределения, абсолютно непрерывные — плотностью распределения.
    Существует универсальный способ описать любое распределение. Это можно сделать с помощью функции распределения.
    О пределен и е 15. Функцией распределения случайной величины
    ξ
    на- зывается функция F (x), при каждом x равная вероятности случайной величине принимать значения, меньшие x :
    F (x) = P(
    ξ
    < Смысл функции распределения весьма прост. Представим себе, что на числовой прямой размещена единичная масса. Причём размещена она там в соответствии с распределением если оно дискретное, частички p этой массы помещены в точки с координатами a i
    . Если же распределение абсолютно непрерывно, масса размазана по прямой с плотностью f (x), те. на участок приходится масса f (x) dx. Тогда функция распределения (x) при каждом x равна массе, расположенной слева от точки С ростом x наблюдается увеличение массы, находящейся слева от x. Это увличение происходит либо непрерывно (если масса распределена по всем точкам прямой, либо скачками (если масса помещена в отдельные точки прямой. Если x неограниченно передвигать влево, масса слева отбудет уменьшаться до нуля. Если x также неограниченно передвигать вправо,
    масса слева отбудет расти до единицы — до общей массы на всей прямой

    § 3. Функция распределения и её свойства
    55
    Рассмотрим примеры того, как находить функции распределения.
    П р им ер. Дважды подбрасывают правильную монету. Найти функцию распределения числа выпавших гербов.
    Р е ш е ни е. Число выпавших гербов — это случайная величина, которая может принимать значения 0, 1, 2 с вероятностями p
    0
    , p
    1
    , p
    2
    . Вероятности можно найти или по формуле Бернулли, или напрямую P(
    ξ
    = 0) = две решки) = 0,5 · 0,5 = 0,25,
    p
    1
    = P(
    ξ
    = 1) = герб, решка или решка, герб) = 2 · 0,5 · 0,5 = 0,5,
    p
    2
    = P(
    ξ
    = 2) = два герба) = 0,25 = 1 − p
    0
    − Функция распределения F (x) равна вероятности события {
    ξ
    < x} и её
    значения зависят от x следующим образом:
    а) при x
    0 событие {
    ξ
    < x} невозможно, его вероятность нулевая;
    б) если 0 < x
    1, то событие {
    ξ
    < x} происходит в томи только в том случае, когда 0, тес вероятностью p
    0
    = в) если 1 < x
    2, то событие {
    ξ
    < x} происходит, если 0 или тес вероятностью p
    0
    + p
    1
    = г) при x > 2 событие {
    ξ
    < x} обязательно происходит, и его вероятность равна единице (x) если если 0 < если 1 < если x > 2.
    x
    2 1
    0 0,25 0,75 Рис. Закрашенные и незакрашенные точки на графике указывают назначения функции в точке разрыва. Например, закрашенная точкой (0, 0) и «пустая»
    точка (0, 0,25) означают, что F
    ξ
    (0) = 0, а не Заметим, что функция распределения имеет разрывы в точках 0, 1 и 2 именно в тех точках, где
    ξ
    принимает значения. Приращения функции в этих точках равны соответственно p
    0
    = 0,25, p
    1
    = 0,5 и p
    2
    = Аналогично строится график функции распределения для любого дискретного распределения со значениями a и вероятностями p Свойство. Функция распределения дискретного распределения раст т только в точках разрыва в каждой точке a она имеет скачок величиной. За счёт скачков функция F (x) растёт от 0 до 1.
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    П р им ер. Точка наудачу бросается вкруг с радиусом R. Найти функцию распределения расстояния от этой точки до центра круга.
    Р е ш е ни е. Случайная величина
    ξ
    равна расстоянию от наудачу выбранной в круге точки до центра круга и принимает любые значения от 0 до Поэтому при x
    0 событие {
    ξ
    < x} невозможно, и F
    ξ
    (x) = 0. А при x > событие {
    ξ
    < x} происходит обязательно, и F
    ξ
    (x) = 1 для таких Если же 0 < x
    R, то событие {
    ξ
    < x} происходит при попадании точки вкруг с радиусом x и тем же центром. Вероятность этого события,
    по геометрическому определению вероятности, равна отношению площадей кругов F
    ξ
    (x) =
    π
    x
    2
    π
    R
    2
    =
    x
    2
    R
    2
    . Окончательно получаем Рис. 11. График функции F (x)
    F (x) если если 0 < если x > Здесь, в отличие от предыдущего примера, функция F (x) непрерывна.
    Сделаем важное замечание две разные случайные величины могут иметь одну и туже функцию распределения, одну и туже таблицу или плотность распределения. В этом случае говорят, что данные случайные величины одинаково распределены. Иными словами, функция распределения характеризует не столько саму случайную величину, сколько её распределение.
    П р им ер. По результату одного подбрасывания правильной монеты построим две случайные величины:
    ξ
    =
    1,
    если выпал герб,
    0,
    если выпала решка,
    η
    =
    0,
    если выпал герб,
    1,
    если выпала решка.
    Эти случайные величины никогда неравны одна другой если монета выпала гербом, то 1, а 0. Если решкой — наоборот. Однако распределения этих случайных величин одинаковы 1
    P
    0,5 0,5
    ,
    η
    0 1
    P
    0,5 Одинаковыми будут и функции распределения этих случайных величин) = P(
    ξ
    < x) = P(
    η
    < x) = F
    η
    (x) для всех x.

    § 3. Функция распределения и её свойства
    57
    Общие свойства функций распределения. Основные свойства функций распределения заключены в теореме. Верно и обратное к ней утверждение любая функция, обладающая перечисленными в теореме свойствами,
    является функцией распределения некоторой случайной величины.
    Т е орем а 19. Любая функция распределения обладает свойствами) F (x) не убывает если x
    1
    < x
    2
    , то F (x
    1
    )
    F (x
    2
    );
    (F2) F (x) имеет пределы lim x→−∞
    F (x) = 0 ив любой точке непрерывна слева F (x − 0) = F (В свойстве (F3) через F (x − 0) обозначен предел значений функции при стремлении её аргумента к точке x слева (те. по области x n
    < x) :
    F (x − 0) =
    lim x
    n
    →x−0
    F (x Доказательство. Докажем свойство (F1). Рассмотрим произвольные числа x
    1
    < x
    2
    . Если x
    1
    , тотем более x
    2
    . Это означает, что первое событие влечёт второе, и их вероятности тоже упорядочены (x
    1
    ) = P{
    ξ
    < x
    1
    }
    P{
    ξ
    < x
    2
    } = F (Ограничимся, не приводя строгого доказательства свойств (F2) и (следующими соображениями.
    Вероятность события {
    ξ
    < x} при x → −∞ стремится к вероятности невозможного события {
    ξ
    = −∞}, тек нулю. Вероятность события {
    ξ
    < при x → +∞ стремится к вероятности достоверного события {
    ξ
    < тек единице. Если же x устремить к x слева, то вероятность события x n
    } стремится к вероятности события {
    ξ
    < x}, тек (Функции распределения обладают также следующим полезным свойством) Для любой случайной величины
    ξ
    имеет место равенство b) = F (b) − F Доказательство. Заметим, что {
    ξ
    < a} ∪ {a
    ξ
    < b} = {
    ξ
    < и первые два события несовместны. Тогда из аксиомы (P2) следует, что a) + P(a
    ξ
    < b) = P(
    ξ
    < Это как рази означает, что (a) + P(a
    ξ
    < b) = F (Если функция распределения непрерывна в точках a и b, то следующие четыре вероятности одинаковы, и любая из них вычисляется по формуле (
    10
    ):
    P(a
    ξ
    < b) = P(a <
    ξ
    < b) = P(a
    ξ
    b) = P(a <
    ξ
    b).
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    Свойства абсолютно непрерывного распределения. Пусть случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью f (x). Тогда функция распределения в любой точке x может быть найдена по плотности распределения так (x) = P(
    ξ
    < x) = P(
    ξ
    ∈ (−∞, x)) =
    x
    −∞
    f (t) Интеграл (
    11
    ) непрерывен по x, поэтому функция распределения случайной величины с абсолютно непрерывным распределением всюду непрерывна Из равенства (
    11
    ) следует также, что плотность абсолютно непрерывного распределения равна производной от функции распределения f (x) = F (Это равенство выполняется для всех x, кроме, разве что, конечного или счётного множества точек, в которых производная функции F (x) может вообще не существовать. В таких точках плотность можно задавать как угодно.
    Сформулируем очень важный критерий абсолютной непрерывности.
    Т е орем а 20. Если непрерывная функция распределения F (x) дифференцируема всюду, за исключением, возможно, конечного или счётного множества точек, то распределение является абсолютно непрерывным.
    Так, в примере
    44
    функция распределения F (x) везде непрерывна и дифференцируема всюду, кроме точек 0 и R. Плотность этого распределения равна f (x) = F (x) (продифференцировать ).
    § 4. Примеры дискретных распределений
    Вырожденное распределение I
    c
    . Cлучайная величина
    ξ
    имеет вырожденное распределение в точке c, если
    ξ
    принимает лишь одно значение c, те. Для краткости мы будем употреблять запись
    ξ
    ∼ I
    c
    Распределение Бернулли B
    p
    . Cлучайная величина
    ξ
    имеет распределение Бернулли с параметром p ∈ (0, 1), если
    ξ
    принимает значение 1 с вероятностью и значение 0 с вероятностью q = 1 − p . Случайная величина
    ξ
    с таким распределением равна числу успехов водном испытании схемы
    Бернулли с вероятностью успеха p : либо ни одного успеха, либо один успех.
    Таблица распределения случайной величины имеет вид 1
    P
    q Например, случайные величины
    ξ
    и
    η
    из примера
    45
    имеют одно и тоже распределение Бернулли с параметром p =
    1 2

    § 4. Примеры дискретных распределений
    59
    Биномиальное распределение B
    n,p
    . Cлучайная величина
    ξ
    имеет биномиальное распределение с параметрами n и p ∈ (0, 1), если
    ξ
    принимает значения k = 0, 1, . . . , n с вероятностями P(
    ξ
    = k) = C
    k n
    p k
    q n−k
    . Случайная величина с таким распределением равна числу успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения случайной величины имеет вид 1
    k n
    P
    q n
    npq n−1
    C
    k n
    p k
    q n−k Распределение Бернулли B
    p совпадает с распределением B
    1, Например, случайная величина
    ν
    10
    из примера
    42
    имеет биномиальное распределение B
    10,
    1 с параметрами n = 10 , p =
    1 2
    . Количество выпавших шестёрок при двадцати подбрасываниях правильной игральной кости имеет биномиальное распределение B
    20,
    1 Геометрическое распределение G
    p
    . Cлучайная величина
    ξ
    имеет геометрическое распределение с параметром p ∈ (0, 1), если
    ξ
    принимает значения k = 1, 2, 3, . . . с вероятностями P(
    ξ
    = k) = pq k−1
    . Случайная величина с таким распределением равна номеру первого успешного испытания в схеме
    Бернулли. Таблица распределения случайной величины имеет вид 2
    k
    P
    p pq pq Так, количество проведённых испытаний в примерена стр.
    21
    имеет геометрическое распределение с параметром p =
    1 Распределение Пуассона Π
    λ
    . Случайная величина
    ξ
    имеет распределение
    Пуассона с параметром 0, если
    ξ
    принимает целые неотрицательные значения k = 0, 1, 2, . . . с вероятностями P(
    ξ
    = k) =
    λ
    k k!
    e

    λ
    . Таблица распределения случайной величины
    ξ
    ∼ Π
    λ
    имеет вид 1
    2
    k
    P
    e

    λ
    λ
    e

    λ
    λ
    2 2
    e

    λ
    λ
    k Распределение Пуассона возникло в теореме Пуассона (стр) как предельное распределение для числа успехов в n испытаниях схемы Бернулли,
    когда число испытаний n увеличивается, а вероятность успеха p ∼
    λ
    n уменьшается обратно пропорционально n. Поэтому распределение Пуассона называют иногда распределением числа редких событий
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    Гипергеометрическое распределение. Пусть случайная величина
    ξ
    равна числу белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны с K белыми и N − K чёрными шарами. Распределение этой случайной величины называется гипергеометрическим распределением. Случайная величина
    ξ
    принимает целые значения k = 0, 1, . . . , n с вероятностями k) =
    C
    k
    K
    C
    n−k
    N Упражнение. Построить графики функций распределения для всех перечисленных выше распределений, как это сделано в примере 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений
    Равномерное распределение. Случайная величина
    ξ
    имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если её плотность распределения постоянна на отрезке [a, b] и равна нулю вне него (x) =
    1
    b − если x ∈ [a, если x ∈ [a, Случайная величина имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке [a, b]. Функция распределения случайной величины
    ξ
    всюду непрерывна и имеет вид (x) если x < a,
    x − a b − если a если x > Мы много раз встречались с равномерным распределением. Так, длина каждого из двух обломков стержня в примере
    42
    имеет равномерное распределение на отрезке [0, Графики плотности и функции распределения равномерного распределения на отрезке [a, b] изображены на рис. 12.
    x b
    a
    1
    (b−a)
    f
    (x)
    x Рис. 12. Плотность и функция распределения U
    a,b

    § 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений
    61
    Показательное распределение E
    α
    . Случайная величина
    ξ
    имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром 0, если
    ξ
    имеет следующие плотность и функцию распределения (x) если x < если x
    0;
    F (x) если x < 0,
    1 − если Графики плотности и функции распределения показательного распределения с параметром
    α
    изображены на рис. Рис. 13. Плотность и функция распределения Плотность показательного распределения равна нулю на отрицательной полуоси, поэтому вероятность события {
    ξ
    < 0} нулевая — случайная величина с показательным распределением не может быть отрицательна. К тому же плотность отлична от нуля на всей положительной полуоси, поэтому случайная величина с показательным распределением может принимать сколь угодно большие положительные значения для всякого x вероятность события неравна нулю.
    Показательное распределение обладает свойством отсутствия последействия. Мы встречались с этим свойством у геометрического распределения.
    Т е орем а 21. Пусть. Тогда для любых x, y > 0
    P(
    ξ
    x + y |
    ξ
    x) = Доказательство. Заметим, что для любого t > 0
    P(
    ξ
    t) = 1 − P(
    ξ
    < t) = 1 − F (t) = Поэтому + y |
    ξ
    x) =
    P(
    ξ
    x + y,
    ξ
    x)
    P(
    ξ
    x)
    =
    P(
    ξ
    x + y)
    P(
    ξ
    x)
    =
    =
    e

    α
    (x+y)
    e

    α
    x
    = e

    α
    y
    = Нормальное распределение N
    a,
    σ
    2
    . Случайная величина
    ξ
    имеет нормальное (или гауссовское) распределение с параметрами a и, где a ∈
    R
    ,
    σ
    > 0,
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    если
    ξ
    имеет следующую плотность распределения (x) =
    1
    σ

    2
    π
    e

    (x−a)
    2 2
    σ
    2
    ,
    x На рис. 14 показаны графики плотностей нормальных распределений с одними тем же значением параметра a и разными значениями параметра 3
    N
    a,
    σ
    2 1
    N
    a,
    σ
    2 2
    σ
    2 1
    <
    σ
    2 2
    <
    σ
    2 Рис. 14. Плотности нормальных распределений
    Нормальное распределение N
    0, с параметрами a = 0 и 1 называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна) =
    1

    2
    π
    e
    −x
    2
    /2
    . Она является чётной функцией, и её график (кривая Гаусса) симметричен относительно прямой x = 0. Читатель вспомнит, что эта плотность уже возникала в локальной теореме Муавра — Лапласа (стр.
    48
    ).
    Мы будем использовать специальное обозначение Φ(x) для функции распределения стандартного нормального распределения.
    Первообразная функции не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию Φ(x) (также как и функцию распределения произвольного нормального распределения) можно записать лишь в виде интеграла Функция Φ(x) встречалась нам в интегральной теореме Муавра — Лапласа (стр. Она табулирована, те. её значения при различных действительных вычислены (см. таблицу на стр.
    121
    ).
    Познакомимся со свойствами нормального распределения. Прежде всего установим связь между функцией распределения произвольного нормального закона распределения и Φ(x).

    § 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений 6
    - a
    x
    0,5 1
    F (Рис. 15. Функция распределения нормального распределения Свойство. Пусть случайная величина
    ξ
    имеет нормальное распределение. Тогда) = Φ
    x − a
    σ
    ,
    ξ
    − a
    σ
    ∼ N
    0, Доказательство. Докажем первое равенство. Функцию распределения) запишем в виде интеграла от плотности и сделаем в этом интеграле замену переменных t − a
    σ
    = y, dt =
    σ
    dy :
    F
    ξ
    (x) =
    x
    −∞
    1
    σ

    2
    π
    e

    (t−a)
    2 2
    σ
    2
    dt =
    x−a
    σ
    −∞
    1

    2
    π
    e

    y
    2 2
    dy = Φ
    x − Читатель обратил внимание, что после такой замены область интегрирования t ∈ (−∞, x) заменилась на область интегрирования y ∈ −∞,
    x − Докажем второе свойство. Вычислим, используя первое равенство, функцию распределения величины a
    σ
    :
    F
    η
    (x) = P(
    η
    < x) = P
    ξ
    − a
    σ
    < x = P(
    ξ
    <
    σ
    x + a) =
    = F
    ξ
    (
    σ
    x + a) = Φ
    σ
    x + a − a
    σ
    = Функция распределения случайной величины
    η
    равна Φ(x), поэтому
    η
    имеет стандартное нормальное распределение.
    Из свойства
    3
    и свойства (F4) функций распределения следует полезное равенство для вычисления вероятностей попадания в интервалы.
    С вой ст во. Если, то x
    2
    ) = Φ
    x
    2
    − a
    σ
    − Φ
    x
    1
    − a
    σ
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    Мы показали, что вычисление любых вероятностей для нормально распре- делённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения. Она обладает следующими свойствами.
    С вой ст во Доказательство. Величина Φ(0) равна площади, заключённой под графиком кривой Гаусса левее оси ординат. Из-за симметрии плотности относительно прямой x = 0 эта площадь равна половине всей площади под графиком плотности, те. Второе свойство полезно нарисовать и проверить на графике плотности стандартного нормального распределения.
    Следующее свойство стандартного нормального распределения показано на рис. 16. Площадь центральной области равна единице за вычетом площадей двух симметричных хвостов x
    Φ(−x)
    f
    (t)
    P(|
    ξ
    | < Рис. Свойство. Если, то для любого x > 0
    P(|
    ξ
    | < x) = 1 − Доказательство. При x > 0 имеем < x) = P(−x <
    ξ
    < x) = Φ(x) − Φ(−x) = 1 − Свойство (правило трёх сигм). Если, тот. е. почти единица).
    Д ока за тел ь ст во. Случайная величина имеет распределение N
    0,1
    . По свойству < 3) = (1 − 2Φ(−3)) = 1 − 2 · 0,00135 = Большого смысла в запоминании числа 0,9973 нет, но полезно помнить,
    что почти вся масса (более 99%) нормального распределения сосредоточена в границах от a − до a + 3
    σ

    § 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений
    65
    П р им ер. Станок-автомат изготовляет детали, длина которых по стандарту может отклоняться от 125 мм не более, чем на 1 мм. Среди продукции станка 7% нестандартных деталей. Считая, что длины деталей имеют нормальное распределение N
    125,
    σ
    2
    , найти параметр
    σ
    2
    Р е ш е ни е. Обозначим через
    ξ
    длину типичной детали. Деталь нестандартна, если |
    ξ
    − 125| > 1. Это событие происходит с вероятностью 0,07 именно так следует понимать фразу про семь процентов нестандартных деталей. Раскроем модуль и используем свойство, а затем = P(|
    ξ
    − 125| > 1) = 1 − P(|
    ξ
    − 125|
    1) =
    = 1 − P(124
    ξ
    126) = 1 − Φ
    126 − 125
    σ
    − Φ
    124 − 125
    σ
    =
    = 1 − Φ
    σ
    −1
    − Φ −
    σ
    −1
    = 2Φ По таблице на стр, зная Φ(−
    σ
    −1
    ) = 0,035, найдём
    σ
    −1
    = 1,81. Отсюда 0, 305 мм
    2
    Гамма-распределение Γ
    α
    ,
    λ
    . Случайная величина
    ξ
    имеет гамма-распре- деление с параметрами 0,
    λ
    > 0, если
    ξ
    имеет следующую плотность распределения (x) если x
    0,
    α
    λ
    Γ(
    λ
    )
    · если x > В выражении для плотности участвует гамма-функция Эйлера) =

    0
    x
    λ
    −1
    e
    −x Следующие свойства гамма-функции бывают полезны для вычисления определённых интегралов, содержащих произведение степенной и показательной функций Γ(
    λ
    ) = (
    λ
    − 1)Γ(
    λ
    − 1), Γ(n) = (n − 1)! при целых положительных) Отметим, что показательное распределение является частным случаем гамма-распределения: E
    α
    = Γ
    α
    , 1
    . Гамма-распределение с параметрами 2
    и
    λ
    =
    n
    2
    при целом положительном n называется хи-квадрат (распределением с n степенями свободы. С этим распределением мы познакомимся в курсе математической статистики. Гамма-распределение с целым положительным n называется распределением Эрланга.
    У пр аж не ни е . Нарисовать график плотности распределения при 1, при 1 и при 1, отметить на этом графике точки экстремума,
    точки перегиба и иные особенности графика
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    Распределение Коши C
    a,
    σ
    . Случайная величина
    ξ
    имеет распределение
    Коши с параметрами a ∈ (−∞, ∞),
    σ
    > 0, если
    ξ
    имеет плотность распределения Плотность распределения Коши симметрична относительно прямой x = a и похожа на плотность нормального распределения, но имеет более толстые Рис. хвосты на ±∞ . Функция распределения случайной величины
    ξ
    ∼ C
    a,
    σ
    равна
    F (x) =
    1 2
    +
    1
    π
    arctg x − a
    σ
    Распределение
    Коши имеет простой физический смысл (см. рис. 17). Если из точки плоскости с
    координатами
    (a,
    σ
    )
    испустить луч в направлении оси под случайным углом, выбранным наудачу из интервала (0,
    π
    ), то абсцисса точки пересечения луча с осью OX будет иметь распределение Коши Действительно+ a =
    σ
    tg
    π
    2

    ϕ
    + a,
    P(
    ξ
    < x) = P
    π
    2

    ϕ
    < arctg x − a
    σ
    = P
    ϕ
    >
    π
    2
    − arctg x − a
    σ
    Поскольку
    ϕ
    выбирается наудачу на интервале (0,
    π
    ), вероятность есть отношение длин соответствующих интервалов arctg x − a
    σ
    =
    π

    π
    2
    − arctg x − a
    σ
    π
    =
    1 2
    +
    1
    π
    arctg x − Распределение Парето. Случайная величина
    ξ
    имеет распределение Па- рето с параметром 0, если
    ξ
    имеет следующие плотность и функцию распределения (x) если если x < 1;
    F (x) =
    1 если если x < С другими абсолютно непрерывными распределениями (Сть ´
    юдента, Фише- ра, Колмогорова, Лапласа) мы познакомимся при изучении математической статистики. В различных задачах читателю, возможно, встретятся распределения Вейбулла, логарифмически нормальное и некоторые другие интересные абсолютно непрерывные распределения. Плотности всех этих распределений можно найти в таблице на стр

    § 6. Преобразования случайных величин 6. Преобразования случайных величин
    Если
    ξ
    — случайная величина, а g(x) — действительная функция действительного аргумента, тоновая случайная величина, и нужно уметь находить её распределение по распределению. Эта проблема возникает, например, при моделировании случайных величин с заданным распределением. Датчик случайных чисел может генерировать лишь значения случайных величин с равномерным распределением. А если нам необходимы значения показательно распределённой величины, нужно знать, какое преобразование применить, чтобы из равномерного распределения получить показательное.
    Преобразования дискретных распределений. Если
    ξ
    имеет дискретное распределение, то величина g(
    ξ
    ) также имеет дискретное распределение, и таблица её распределения находится просто по определению, как показано в следующем примере.
    П р им ер. Случайная величина
    ξ
    имеет таблицу распределения −1 0
    1 2
    P 0,1 0,3 0,1 0,2 Найти таблицу распределения случайной величины
    η
    =
    ξ
    2
    Р е ш е ни е. Возводя значения случайной величины
    ξ
    в квадрат, увидим,
    что
    η
    принимает только значения 0, 1, 4. При этом 0 только когда 0, тес вероятностью 0,1, а каждое из значений 1 и 4 величина
    η
    принимает в двух случаях 1} = {
    ξ
    = −1} ∪ {
    ξ
    = 1},
    {
    η
    = 4} = {
    ξ
    = −2} ∪ {
    ξ
    = По аксиоме вероятности (P2), вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей 1) = P(
    ξ
    = −1) + P(
    ξ
    = 1) = 0,3 + 0,2 = 0,5,
    P(
    η
    = 4) = P(
    ξ
    = −2) + P(
    ξ
    = 2) = 0,1 + 0,3 = Получаем следующую таблицу распределения 1
    4
    P 0,1 0,5 Преобразования абсолютно непрерывных распределений. Пусть случайная величина
    ξ
    имеет функцию распределения F (x) и плотность распределения. Построим с помощью функции g(x) случайную величину Требуется найти функцию распределения и, если существует, плотность распределения величины
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    Плотность распределения случайной величины g(
    ξ
    ) существует далеко не при любых функциях g. Так, если функция g кусочно-постоянна, то
    η
    имеет дискретное распределение, и плотность её распределения не существует. Например, если функция g(x) = 1 при всех x, то величина g(
    ξ
    ) = имеет вырожденное распределение Теорема. Пусть случайная величина
    ξ
    имеет плотность распределения, и постоянная a отлична от нуля. Тогда a
    ξ
    + b имеет плотность распределения f
    η
    (x) =
    1
    |a|
    f x − b Доказательство. Пусть сначала a > 0.
    F
    η
    (x) = P(a
    ξ
    + b < x) = P
    ξ
    <
    x − b a
    = F
    x − b Продифференцируем это выражение по x как сложную функцию) = (F
    η
    (x)) =
    d dx
    F
    x − b a
    =
    x − b a
    · f x − b a
    =
    1
    a f
    x − b Пусть теперь a < 0.
    F
    η
    (x) = P(a
    ξ
    + b < x) = P
    ξ
    >
    x − b a
    = 1 − F
    x − b Продифференцируем это выражение по x :
    f
    η
    (x) = (F
    η
    (x)) =
    d dx
    1 − F
    x − b a
    = −
    1
    a f
    x − b a
    =
    1
    |a|
    f x − b Убедиться в том, что производная f
    η
    (x) действительно является плотностью распределения, можно, например, проверив для неё свойство (f2) плотности.
    Из теоремы
    22
    следуют (проверить ) уже знакомые нам утверждения:
    С лед ст в и е 2. Если, 1
    , то+ a Доказательство. Действительно) =
    1
    σ
    · f
    ξ
    x − a
    σ
    =
    1
    σ

    2
    π
    e

    (x−a)
    2 Следствие. Если, то её линейное преобразование c
    ξ
    + d при c = 0 снова имеет нормальное распределение.
    Этот факт следует запомнить линейное преобразование оставляет распределение нормальным. Полезно также убедиться, что c
    ξ
    + d ∼ N
    ca+d, Следствие. Если, b
    , то её линейное преобразование c
    ξ
    + d при c = 0 снова имеет равномерное распределение.
    Границы интервала, на котором сосредоточено распределение c
    ξ
    + d, получаются линейным преобразованием границ исходного интервала (a, b). Например при c > 0.

    § 7. Контрольные вопросы
    69
    С лед ст в и е 5. Если, то
    αξ
    ∼ E
    1
    П р им ер. Случайная величина
    ξ
    имеет стандартное нормальное распределение. Найти плотность распределения величины
    ξ
    2
    Р е ш е ни е. Для x
    0 функция распределения величины
    η
    =
    ξ
    2
    равна
    F
    η
    (x) = P(
    ξ
    2
    < x) = 0, поэтому f
    η
    (x) = Для x > 0 имеем F
    η
    (x) = P(
    ξ
    2
    < x) = P (|
    ξ
    | <

    x ) = 1 − 2Φ (−

    x ) Производная функции Φ(x) равна плотности стандартного нормального распределения, поэтому при x > 0
    f
    η
    (x) = (F
    η
    (x)) = −2
    ϕ


    x
    · −

    x
    =
    1

    x
    ϕ


    x
    =
    1

    2
    π
    x Мы получили следующую плотность) если x
    0,
    1

    2
    π
    x если x > Это плотность гамма-распределения с параметрами 2
    ,
    λ
    =
    1 2
    . Тем самым мы доказали, что, 1/2
    . Другое название этого распределения распределение хи-квадрат с одной степенью свободы.
    П р им ер. Случайная величина
    ξ
    имеет равномерное распределение на отрезке [0, 1]. Найти распределение величины − Решение. Функция распределения величины − равна) = P(− ln
    ξ
    < x) = P(
    ξ
    > e
    −x
    ) = 1 − P(
    ξ
    e
    −x
    ) = 1 − Подставим e
    −x
    > 0 вместо x в функцию распределения U
    0, 1
    :
    F
    ξ
    (x) если x < если если x > 1,
    F
    ξ
    (e
    −x
    ) если 0 < если e
    −x
    > Окончательно получаем) = 1 − F
    ξ
    (e
    −x
    ) =
    1 − если если x < Итак. Мы получили замечательный факт применение функции g(x) = − ln x к равномерно распределённой на отрезке [0, 1] случайной величине приводит к показательному распределению с параметром 1. Если же мы хотим получить показательное распределение с произвольным параметром, следует воспользоваться следствием −
    1
    α
    ln
    ξ
    ∼ E
    α
    ГЛАВА V. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 7. Контрольные вопросы
    1.

    Для чего нужны случайные величины?
    2.

    Что такое случайная величина?
    3.
    Привести примеры случайных величин. Что называют таблицей распределения вероятностей У каких случайных величин есть таблица распределения вероятностей. Сколько значений может принимать случайная величина с дискретным распределением?
    6.
    Как вычислить P(
    ξ
    ∈ [2, 4]) для случайной величины с дискретным распределением. Могут ли две разные случайные величины иметь одинаковые таблицы распределения?
    8.

    Совпадают ли количества очков при первом и при втором броске игральной кости Одинаковы ли распределения этих случайных величин?
    9.
    Совпадают ли результаты первого и второго бросаний одной и той же монеты Одинаковы ли распределения соответствующих случайных величин. Сколько значений может принимать случайная величина с абсолютно непрерывным распределением?
    11.

    Что такое плотность распределения?
    12.
    Как вычислить P(
    ξ
    ∈ [2, 4]) для случайной величины с абсолютно непрерывным распределением. Как вычислить P(
    ξ
    < 3) для случайной величины с абсолютно непрерывным распределением. Как вычислить P(
    ξ

    > 3) для случайной величины с абсолютно непрерывным распределением?
    15.
    Чему равен интеграл от плотности распределения по всей прямой. Может ли плотность распределения принимать отрицательные значения Может ли плотность распределения равняться нулю при всех значениях аргумента Единице Двойке Чему равно значение интеграла по всей прямой от каждой из этих функций?
    18.

    Что такое функция распределения случайной величины?
    19.
    Перечислите и объясните свойства функции распределения. Для каждого свойства функций распределения нарисуйте график любой функции, не обладающей этим свойством.
    21.

    Как выглядит функция распределения дискретного распределения?
    Чему равны величины её скачков


    1   2   3   4   5   6   7   8   9


    написать администратору сайта