Главная страница
Навигация по странице:

  • Всегда ли математическое ожидание существует

  • Сколько в среднем очков выпадает при бросании игральной кости

  • + 1 для 11. Всегда ли математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий

  • Что такое среднеквадратическое отклонение 15.Что позволяет сравнивать неравенство Йенсена 16.Как меняется дисперсия при изменении случайной величины вдвое

  • Что показывает коэффициент корреляции 30.Еслиξ= 2η, чему равен их коэффициент корреляции

  • Если каждую из двух случайных величин увеличить на два, как изменится их коэффициент корреляции

  • | = 1. Оценить с помощью неравенства Маркова вероятность > Какие вероятности позволяет оценивать неравенство Чебышёва

  • Теория вероятностей


    Скачать 1.1 Mb.
    НазваниеТеория вероятностей
    Анкорterver.pdf
    Дата05.04.2017
    Размер1.1 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаterver.pdf
    ТипУчебное пособие
    #402
    страница7 из 9

    Подборка по базе: Валентина. Теория вероятностей.docx, теория вероятностей.docx, Экономическая теория.docx, Экономическая теория, 1 курс. УМК (Налоги).doc, Лабораторная 5 теория новая.docx, КУРСОВАЯ ТЕОРИЯ МОЯ (Автосохраненный).docx, КУРСОВАЯ ТЕОРИЯ МОЯ (Автосохраненный).docx, Физиология - Теория (билеты - экзамен).docx, Логика Теория аргументации.doc, титульник теория принятия решений.docx.
    1   2   3   4   5   6   7   8   9
    Одинаковы ли математические ожидания у двух разных случайных величин с одними тем же распределением?
    5.

    Какой физический смысл имеет математическое ожидание?
    6.

    Всегда ли математическое ожидание существует?
    7.
    Привести пример распределения, математическое ожидание которого не существует.
    8.

    Сколько в среднем очков выпадает при бросании игральной кости?
    9.
    Как вычислять математическое ожидание функции от случайной величины с дискретным распределением С абсолютно непрерывным распределением свойствами математического ожидания, вычислить E 1,
    E и E
    ξ

    + 1 для 11. Всегда ли математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий?
    12.

    Всегда ли математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий?
    13.

    Какой физический смысл имеет дисперсия?
    14.

    Что такое среднеквадратическое отклонение?
    15.

    Что позволяет сравнивать неравенство Йенсена?
    16.

    Как меняется дисперсия при изменении случайной величины вдвое?
    17.
    Можно ли привести пример распределения с дисперсией Что можно сказать про случайную величину, дисперсия которой нулевая Всегда ли дисперсия суммы равна сумме дисперсий?
    20.
    Перечислить математические ожидания и дисперсии всех основных распределений.
    21.
    Чему равен шестой момент стандартного нормального распределения Что такое производящая функция моментов и как она «производит»

    моменты?
    23.
    Чем медиана отличается от моды
    ГЛАВА VII. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
    24.

    Какую площадь под графиком плотности отрезает медиана слева?
    Справа?
    25.
    Что такое квантиль Какую площадь под графиком плотности отрезает квантиль уровня 0,05 слева Справа. Найти все децили нормального стандартного распределения и построить по ним график функции Для чего служат коэффициенты эксцесса и асимметрии. Чему равны коэффициенты эксцесса и асимметрии стандартного нормального распределения Любого нормального распределения?
    29.

    Что показывает коэффициент корреляции?
    30.
    Если
    ξ
    = 2
    η

    , чему равен их коэффициент корреляции?
    31.
    Что можно сказать про случайные величины, если их коэффициент корреляции равен Чему равен коэффициент корреляции числа гербов и числа решек при ста бросках монеты. Если каждую из двух случайных величин увеличить вдвое, как изменится их коэффициент корреляции?
    34.

    Если каждую из двух случайных величин увеличить на два, как изменится их коэффициент корреляции?
    35.
    Чему равен коэффициент корреляции независимых случайных величин Чему равен коэффициент корреляции
    ξ
    и
    ξ
    2
    , где, 1
    ? Можно ли отсюда сделать вывод, что эти величины независимы
    ГЛАВА ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
    Мы уже знакомы с некоторыми предельными теоремами теории вероятностей и знаем, что они служат для приближённого вычисления вероятностей событий,
    связанных сочень длинными сериями независимых испытаний. Все предельные теоремы, которые мы рассмотрим в настоящей главе, касаются поведения последовательности сумм (или средних арифметических) большого числа независимых случайных величин. Эти теоремы можно разбить на две категории грубые свойства, называемые законами больших чисел, утверждают, что средние арифметические большого числа слагаемых приближаются в некотором смысле к постоянной, неслучайной величине (стабилизируются. Так, доля успехов в схеме
    Бернулли приближается к вероятности успеха водном испытании. Более тонкие свойства, называемые собственно предельными теоремами, касаются скорости сближения среднего арифметического с постоянной и позволяют заменять распределение суммы подходящим нормальным распределением 1. Сходимость по вероятности
    Пусть
    ξ
    1
    ,
    ξ
    2
    , . . . — бесконечная последовательность случайных величин,
    заданных на одном и том же вероятностном пространстве. Можно ли говорить о сходимости этой последовательности в том же смысле, в каком сходятся числовые последовательности?
    Напомним определение числовая последовательность {b n
    } сходится к числу при n → ∞, если для любого ε > 0 найдётся число N = N (ε) такое,
    что для любого n
    N выполнено неравенство |b n
    − b| < Для случайных величин такое определение сходимости к числу b было бы слишком жёстким: оно требует, чтобы для n, начиная с некоторого, все значения случайных величин попадали в интервал (b − ε, b + ε). Например, бросая n раз правильную монету, мыс положительной (но маленькой)
    вероятностью можем получить n гербов. В этом случае доля гербов среди всех испытаний равна единице и от ожидаемой в пределе отличается существенно. Но вероятность столь неприятного события — получить одни лишь гербы — уменьшается с ростом числа испытаний
    ГЛАВА VIII. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
    Итак, потребуем, чтобы вероятность события {|
    ξ
    n
    − b|
    ε}, состоящего из тех элементарных исходов, для которых) не попадает в « ε -окрестность числа b, уменьшалась до нуля с ростом n . Такая сходимость называется сходимостью по вероятности».
    О пределен и е 29. Говорят, что последовательность случайных величин сходится по вероятности к числу b при n → ∞, и пишут p
    −→ если для любого ε > 0
    lim n→∞
    P (|
    ξ
    n
    − b|
    ε) = или, равносильно n→∞
    P (|
    ξ
    n
    − b| < ε) = Сходимость по вероятности обладает обычными свойствами пределов числовых последовательностей предел суммы (произведения, частного) сходящихся по вероятности последовательностей равен сумме (произведению,
    частному) пределов.
    Сходимость по вероятности не портится под действием непрерывной функции если p
    −→ b и g(x) непрерывна в точке b, то g(
    ξ
    n
    )
    p
    −→ g(b) Чтобы устанавливать сходимость по вероятности, нужно уметь доказывать сходимость вероятностей P (|
    ξ
    n
    − b|
    ε) к нулю. Прямое вычисление этих вероятностей не всегда возможно, особенно если сумма большого числа случайных величин. Получим оценки сверху для таких вероятностей 2. Вероятностные неравенства
    Т е орем а 28 (неравенство Маркова). Для любого x > 0
    P |
    ξ
    |
    x
    E Доказательство. Если E |
    ξ
    | = ∞, неравенство становится тривиальным. Поэтому будем считать, что E
    ξ
    существует.
    Нам потребуется следующее понятие. Назовём индикатором события случайную величину I(A), равную единице, если событие A произошло, и нулю, если A не произошло.
    По определению, величина I(A) имеет распределение Бернулли с параметром, и её математическое ожидание равно вероятности успеха p = P(A) . Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством. Поэтому для A = {|
    ξ
    |
    x} имеем = |
    ξ
    | · I(A) + I(A)
    |
    ξ
    | · I(A)
    x · Тогда |
    ξ
    |
    E x · I(A) = x · P A) = x · P |
    ξ
    |
    x Осталось разделить обе части неравенства (
    22
    ) на положительное x .

    § 3. Законы больших чисел
    107
    С лед ст в и е 11 (неравенство Чебышёва). Пусть существует. Тогда для любого x > 0
    P |
    ξ
    − Доказательство. Для x > 0 неравенство |
    ξ
    − E
    ξ
    |
    x равносильно неравенству (
    ξ
    − E
    ξ
    )
    2
    x
    2
    , поэтому |
    ξ
    − E
    ξ
    |
    x = P (
    ξ
    − E
    ξ
    )
    2
    x
    2
    E
    ξ
    − В качестве примера использования неравенства Чебышёва оценим вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более чем натри корня из дисперсии. Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя для нормального распределения, например см. свойство. Мы получим верную для всех распределений с конечной дисперсией оценку сверху для вероятности случайной величине отличаться от своего математического ожидания более чем натри корня из дисперсии.
    С лед ст в и е 12. Если D
    ξ
    < ∞ , то P |
    ξ
    − E
    ξ
    |
    3

    D
    ξ
    1 Доказательство. Согласно следствию |
    ξ
    − E
    ξ
    |
    3
    D
    ξ
    D
    ξ
    3

    D
    ξ
    2
    =
    1 9
    § 3. Законы больших чисел
    Законами больших чисел (ЗБЧ) принято называть утверждения о том,
    при каких условиях среднее арифметическое случайных величин стабилизируется с ростом числа слагаемых. Всюду, где будут встречаться одинаково распределённые случайные величины, число a = будет обозначать их
    (у всех одинаковое) математическое ожидание их дисперсию.
    Т е орем а (ЗБЧ
    Чебышёва). Для любой последовательности, . . независимых и одинаково распределённых случайных величин с конечной дисперсией имеет место сходимость+ . . . +
    ξ
    n n
    p
    −→ a.
    (23)
    ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа одинаково устроенных случайных слагаемых сближается со средним значением одного слагаемого. Как бы сильно каждая случайная величина не отклонялась от своего математического ожидания, при суммировании эти отклонения взаимно гасятся, так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине
    ГЛАВА VIII. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
    Требование конечности дисперсии связано исключительно со способом доказательства утверждение останется верным, если требовать существования только первого момента.
    Д ока за тел ь ст во. Обозначим через S
    n
    =
    ξ
    1
    + . . . +
    ξ
    n сумму первых n случайных величин. Из линейности математического ожидания получим n
    =
    E
    ξ
    1
    + . . . + E
    ξ
    n n
    =
    na n
    = Пусть ε > 0 . Воспользуемся неравенством Чебышёва (следствие) и тем,
    что дисперсия суммы независимых слагаемых равна сумме их дисперсий n
    − a
    ε
    D (S
    n
    /n)
    ε
    2
    =
    D S
    n n
    2
    ε
    2
    =
    D
    ξ
    1
    + . . . + D
    ξ
    n n
    2
    ε
    2
    =
    =
    n
    σ
    2
    n
    2
    ε
    2
    =
    σ
    2

    2
    → 0 при n → Замечание. Мы не только доказали сходимость, но и получили оценку для вероятности среднему арифметическому любого числа независимых и одинаково распределённых величин отличаться от a = более чем на заданное ε :
    P
    ξ
    1
    + . . . +
    ξ
    n n
    − Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел
    Бернулли. В отличие от ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведение среднего арифметического случайных величин с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли — утверждение только для схемы Бернулли.
    Т е орем а 30 (ЗБЧ Бернулли. Пусть число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p . Тогда n
    p
    −→ p . При этом для любого ε > 0
    P
    ν
    n n
    − p
    ε
    pq Доказательство. Величина сумма независимых, одинаково рас- пределённых случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром (индикаторов того, что в соответствующем испытании случился успех+ . . . +
    ξ
    n
    , где
    ξ
    i
    =
    1,
    если в м испытании успех;
    0,
    если в м испытании неудача = E
    ξ
    1
    = p,
    σ
    2
    = D
    ξ
    1
    = pq. Осталось воспользоваться ЗБЧ в форме
    Чебышёва и неравенством (
    24
    ).

    § 4. Центральная предельная теорема
    109
    П р им ер. Правильная монета подбрасывается 10 000 раз. Оценим вероятность того, что число гербов отличается от 5 000 менее, чем на Пусть число гербов, выпавших в n = 10 000 испытаниях. Нужно оценить вероятность события 900 <
    ν
    n
    < 5 100} =
    0,49 <
    ν
    n n
    < 0,51
    =
    ν
    n n

    1 2
    < 0,01 Поскольку p = q =
    1 2
    , искомая оценка выглядит так 900 <
    ν
    n
    < 5 100) = 1 − P
    ν
    n n

    1 2
    0,01 1 −
    p q n · 0,01 2
    =
    3 Итак, ЗБЧ Бернулли (а на самом деле, неравенство Чебышёва) позволяет заключить, что в среднем не более чем в четверти случаев при 10 000
    подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от на одну сотую или больше. На самом деле искомую вероятность мы вычислили в примерена стр. Она равна примерно 0,9545. Разница этого ответа с оценкой из неравенства Чебышёва показывает, насколько это неравенство является грубым. Для вычисления вероятностей следует пользоваться более тонкими предельными теоремами 4. Центральная предельная теорема
    Одинаково распределённые слагаемые. Если в условиях ЗБЧ среднее арифметическое n
    =
    ξ
    1
    + . . . +
    ξ
    n сходится по вероятности кто разность сходится к нулю. Оказывается, что эта разность ведёт себя подобно величине, где случайная величина со стандартным нормальным распределением. Иначе говоря, с ростом n распределение величины n
    − a =
    S
    n
    − na
    σ

    n становится всё более похожим на стандартное нормальное распределение.
    Это утверждение и называется центральной предельной теоремой».
    Т е орем а 31 (центральная предельная теорема. Пусть, . . . независимые и одинаково распределённые случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией
    σ
    2
    и математическим ожиданием Тогда для любых x < y имеет место сходимость при n → ∞
    P x <
    S
    n
    − na
    σ

    n
    < y
    → Φ(y) − Φ(x) =
    1

    2
    π
    y x
    e
    −t
    2
    /2
    dt.
    ГЛАВА VIII. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
    Заметим, что дробь na
    σ

    n получилась стандртизацией величины мы просто вычли из S
    n её математическое ожидание E S
    n
    = na и поделили эту разность на корень из дисперсии Можно записать следующие приближённые равенства < S
    n
    < y) = P
    x − na
    σ

    n
    <
    S
    n
    − na
    σ

    n
    <
    y − na
    σ

    n
    ≈ Φ
    y − na
    σ

    n
    − Φ
    x − na
    σ

    n
    ;
    (25)
    P x <
    S
    n n
    < y
    = P(nx < S
    n
    < ny) ≈ Φ

    n y − a
    σ
    − Φ

    n x − Замечание. Ещё раз напомним, что функция распределения стандартного нормального закона ищется либо по таблице (стр, либо с помощью какого-либо программного обеспечения, но никак непутем нахождения первообразной от плотности нормального стандартного распределения.
    П р им ер. При составлении отчёта требуется сложить 10 000 чисел,
    каждое из которых округлено с точностью до 10
    −5
    . Предположим, что ошибки, возникающие при округлении чисел, независимы и равномерно распределены в интервале (−0,5 · 10
    −5
    , 0,5 · 10
    −5
    ). Найти границы, в которых с вероятностью будет лежать суммарная ошибка.
    Р е ш е ни е. Заметим, что ошибки округления симметричны относительно нуля, и суммарная ошибка должна лежать в симметричных относительно нуля границах. Требуется найти такое x > 0, что P(−x < S
    n
    < x) ≈ где n = 10 000 , S
    n
    =
    ξ
    1
    +. . .+
    ξ
    n
    , а слагаемые суть независимые случайные величины с равномерным распределением в интервале (−0,5·10
    −5
    , Вычислим математическое ожидание и дисперсию слагаемых. Помним, что для равномерного распределения математическое ожидание равно середине отрезка, дисперсия равна одной двенадцатой квадрата длины отрезка = E
    ξ
    1
    = 0,
    σ
    2
    = D
    ξ
    1
    =
    10
    −10 12
    ,
    σ
    =
    1 2

    3 · 10 По формуле (
    25
    ),
    P(−x < S
    n
    < x) ≈ Φ
    x
    σ

    n
    − Φ −
    x
    σ

    n
    = Φ 2

    3 · 10 3
    x) − Φ −2

    3 · 10 3
    x Чтобы найти x, найдём по таблице функции Φ(x) или возьмём в примерена стр.
    98
    такое число u = 2

    3 · 10 3
    x, что) − Φ(−u) = 1 − 2Φ(−u) = 0,99, те Число −u равно квантили уровня 0,005 стандартного нормального распределения, поэтому u = 2,576, x =
    2,576 2

    3
    · 10
    −3
    ≈ 74 · Итак, суммарная ошибка округления десяти тысяч чисел с вероятностью не менее 0,99 лежит в границах (−74 · 10
    −5
    , 74 · 10
    −5
    ).

    § 5. Центральная предельная теорема
    111
    ЦПТ в схеме Бернулли. Пусть случайные величины имеют распределение Бернулли и связаны с результатами отдельных испытаний схемы Бернулли, а величина S
    n
    =
    ν
    n есть число успехов в n испытаниях схемы Бернулли. Тогда центральная предельная теорема и её следствие (превращаются в уже знакомую нам интегральную теорему Муавра — Лапласа (стр.
    47
    ).
    Т е орем а 32 (интегральная теорема Муавра — Лапласа. Пусть
    ν
    n

    число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p Тогда для любых x < y имеет место сходимость прите. для любых k
    1
    < число успехов заключено в границах от до с вероятностью k
    2
    ) ≈ Φ
    k
    2
    − np

    npq
    − Φ
    k
    1
    − np

    npq
    Разнораспределённые слагаемые. Центральной предельной теоремой пользуются также для приближённого вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимых, ноне обязательно одинаково рас- пределённых величин. Однако слагаемые должны быть не слишком разными они должны вносить примерно одинаковый вклад в сумму, ни одно из слагаемых не должно существенно выделяться. Сформулируем один из возможных вариантов ЦПТ для разнораспределённых случайных величин.
    Пусть
    ξ
    1
    ,
    ξ
    2
    , . . . — независимые случайные величины с конечными и ненулевыми дисперсиями D
    ξ
    i
    =
    σ
    2
    i и математическими ожиданиями E
    ξ
    i
    = a Говорят, что последовательность, . . . удовлетворяет условию Ляпунова, если следующая дробь Ляпунова |
    ξ
    1
    − a
    1
    |
    3
    + . . . + E |
    ξ
    n
    − a n
    |
    3
    σ
    2 1
    + . . . +стремится к нулю при n → Теорема (ЦПТ Ляпунова. Пусть, . . . — независимые случайные величины, удовлетворяющие условию Ляпунова. Тогда для любых x < y имеет место сходимость при n → ∞
    P x <
    S
    n
    − E S
    n

    D S
    n
    < y
    = P x <
    S
    n
    − (a
    1
    + . . . + a n
    )
    σ
    2 1
    + . . . +
    σ
    2
    n
    < y
    → Φ(y) − Все теоремы, сформулированные в этом разделе, мы оставим без доказательства ГЛАВА VIII. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 5. Контрольные вопросы
    1.
    Дать определение сходимости по вероятности.
    2.
    Какими свойствами обладает сходимость по вероятности. Пусть E |
    ξ

    | = 1. Оценить с помощью неравенства Маркова вероятность > Какие вероятности позволяет оценивать неравенство Чебышёва?
    5.
    Как по неравенству Чебышёва оценить вероятность P(|
    ξ
    − E
    ξ
    | < если x > 0 и существует Будет ли это оценка сверху или снизу?
    6.
    Чем можно оценить вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более чем натри корня из дисперсии Более, чем на четыре На пять?
    7.
    Каков смысл закона больших чисел. Куда сходятся средние арифметические независимых и одинаково рас- пределённых случайных величин с конечной дисперсией?
    9.

    1   2   3   4   5   6   7   8   9


    написать администратору сайта