Главная страница

теория вероятностей. Элементы теории вероятностей Основные понятия комбинаторики


Скачать 38.66 Kb.
НазваниеЭлементы теории вероятностей Основные понятия комбинаторики
Дата10.06.2019
Размер38.66 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлатеория вероятностей.docx
ТипГлава
#57460

Подборка по базе: 16. ОСНОВНЫЕ ЗАБОЛЕВАНИЯ ПОЖИЛЫХ ШАКИРОВА БАЛНУР.pptx, Валентина. Теория вероятностей.docx, теория вероятностей.docx, Основные понятия маркетинга.docx, Практическое задание 1.1.1_ Основные понятия, термины и определе, Органы элементы.docx, Органы элементы.docx, Практическое задание 1.1.1_ Основные понятия, термины и.pdf, методичка по теории информации_01.doc, Классификация и основные элементы вагонных колес.doc.

Глава 1

Элементы теории вероятностей

    1. Основные понятия комбинаторики

В разделе математики, который называется комбинаторикой, решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, возьмем 10 различных цифр 0, 1, 2, 3, …, 9 и составим из них комбинации различных чисел.

Напишите несколько чисел и определите, чем они отличаются друг от друга.

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. Рассмотрим их отдельно. Предварительно познакомимся с понятием факториала.

    1. Понятие факториала.

Определение. Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут

Считают, что 1!=1, 0!=1.
Вычислить: 3!; 7!−5!; ; ; ; ;



    1. Перестановки

Пусть даны три буквы A, B, C. Составим всевозможные комбинации из этих букв.

Определение. Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Pn, где n – число элементов, входящих в каждую перестановку.

Число перестановок можно вычислить по формуле или с помощью факториала.



Пример 1 Рекламный агент составляет эскиз для фасада центрального офиса. Ему заказали оформить его полосами, используя красный, розовый, белый и малиновый цвета. Сколькими способами это можно сделать?

  1. Необходимо составить школьное расписание на один учебный день для шестого класса из шести предметов. Сколькими способами это можно сделать?

  2. Упростить выражение: ;

1.4 Размещения

Пусть имеются четыре буквы A, B, C, D. Составим комбинации только из двух букв.

Определение. Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами, или порядком элементов, называются размещениями.

Размещения обозначаются символом , где m – число всех имеющихся элементов, n – число элементов в каждой комбинации, (mn), и вычисляются по формуле:

Пример 1. Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторяется.

2.Сколькими способами можно выбрать в команде из 10 человек, которые участвуют в КВН капитана и его заместителя?


    1. Сочетания

Из четырех различных букв A, B, C, D составить комбинации, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом
Определение. Сочетаниями называются все комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом, (nm).

Сочетания обозначаются символом и вычисляются по формуле

Пример:


  1. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

  2. Сколькими способами можно выбрать из 25 учащихся одного класса 5 человек для участия в интеллектуальном марафоне?


Алгоритм решения задач по теме: «Комбинаторика»


  1. Используют часть элементов?



Да Нет (все) - перестановки



  1. Порядок элементов имеет значение?


Да – размещение Нет – сочетание


Примеры для самостоятельного решения
; ; ;


  1. Сколькими способами можно выбрать четырех участников из 15 членов сборной и расставить их для эстафеты 800+400+200+100 метров?

  2. Сколько вариантов распределения трёх путёвок в санаторий различного профиля можно составить для пяти претендентов?

  3. Сколькими способами могут быть выделены три призовых места среди 1 соревнующихся?

  4. Сколькими способами можно заполнить билет «5 из 36»?

  5. Сколько различных «слов» можно получить, переставляя буквы в слове СОЛНЦЕ?

  6. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащий 10 деталей?

  7. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Многие комбинаторные задачи могут быть решены с помощью двух правил – правила умножения и правила сложения.

Правило умножения: если из некоторого множества первый объект (элемент a) можно выбрать n способами, а второй объект (элемент b) – m способами, то оба объекта (a и∙ b) в указанном порядке можно выбрать n ∙ m.

Правило сложения: если некоторый объект (элемент a) можно выбрать n способами, а второй объект (элемент b) – m способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов (a или b) можно выбрать n + m.
Примеры:

  1. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из неё:

а) 3 гвоздики;

б) 6 гвоздик одного;

в) 4 красных и 3 розовых гвоздик?

  1. В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых 2 детали бракованные?

Глава 2.

Основные понятия теории вероятностей



    1. Предмет теории вероятностей.

Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении. Для того, чтобы записывать и исследовать эти закономерности, введем некоторые основные понятия и определения.

Случайным является число пассажиров трамвая, спрос на тот или иной товар, количество слушателей концерта, номер выигравшего лотерейного билета, пол родившегося ребенка и т.д.

    1. Основные понятия и определения.

Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия: событие и вероятность события.

Определение 1. Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием

Определение 2. Случайным событием будем считать событие, которое может либо произойти, либо не произойти в результате некоторого испытания

Определение 3. Если нас интересует какое-либо событие из всех возможных событий, то будем называть его искомым событием.

Определение 4. Все рассматриваемые события будем считать равновозможными. т.е. такими, которые имеют равные возможности произойти События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, D.

Определение 5. События называются несовместимыми, если ни какие два из них не могут произойти в данном опыте вместе.

В противном случае события называются совместимыми.

Определение 6. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в данном испытании.

Достоверное событие обозначается буквой U.

Определение 7. Событие называется невозможным. если оно в данном опыте не может произойти.

Невозможное событие обозначается буквой V.

Определение 8. Полной системой событий A1, A2, A3,…, An называется совокупность всех несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.
Какому событию соответствуют следующие высказывания:

– при бросании игральной кости невозможно получить 7 очков;

– подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали, сдача экзамена;

– выигрыш по билету в беспроигрышной игре

– при подбрасывании кости могут появляться 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков

– при подбрасывании монеты появление цифры исключает одновременного появления герба

– выпадение 1, 2, 3, …, 6 очков при бросании игральной кости есть…….

– выпал герб, оценка на экзамене;


    1. Определения вероятности события.


Определение 1. К Каждому случайному событию ставится в соответствие число 0≤ Р ≤1, которое называется вероятностью этого события.

Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению события А(m), к общему числу всех равновозможных исходов (n)

P(A) = m/n
Свойства:

  1. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

  2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. n/n=1.

  3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку 0/n=0



Примеры


  1. Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что:

а) выпадает четное число очков;

б) выпадает число очков кратное 3;

в) выпадает число очков кроме 5.

2. Дано шесть карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что:

а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки;

б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке появления.

4. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что:

а) сумма выпавших очков не превосходит 7;

б) на обеих костях выпадет одинаковое число очков;

в) произведение выпавших очков делится на 4;

5.Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова вероятность , что все извлечённые карты пиковой масти
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

Тема: «Классическое определение теории вероятностей»

1.. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные ответы, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает

А) 3 вопроса

Б) 2 вопроса

В) 1 вопрос

2. 12 человек, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице, в которой есть 4-местный, два 3-местных и один 2-местный номер. Какова вероятность события A, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в 2-местный номер?

3. Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова вероятность, что среди извлечённых карт

А) две карты шестёрки и две карты тузы

Б) все тузы



написать администратору сайта