Главная страница
Навигация по странице:

  • Список литературы

  • Распределение Ферми. Ферми- и бозе-частицы. Принцип Паули.

  • Идеальный ферми-газ при T=0.

  • Идеальный ферми-газ при конечной температуре. Вырожденный

  • Плотность состояний.

  • Зависимость химического потенциала вырожденного ферми-газа от температуры.

  • Лекции по теме Свойства электронного фермигаза из курса Квантовая макрофизика


    Скачать 0.89 Mb.
    НазваниеЛекции по теме Свойства электронного фермигаза из курса Квантовая макрофизика
    Дата06.05.2019
    Размер0.89 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файла03-fermi-2016_feb21 (1).pdf
    ТипЛекции
    #56658
    страница1 из 4

    Подборка по базе: _Конспект урока по теме Внутренняя энергия Способы изменения вну, 1 семестр лекции.docx, Тема лекции Операциональная сфера профессионализма.docx, Тема лекции Операциональная сфера профессионализма.docx, Бойкина Н.И. Опорные лекции по латинскому языку. 2016.docx, КР по теме Масштабы.docx, Тест по теме.docx, курсовая работа по теме проблемное обучение.docx, Всекубанский классный час для 3 класса по теме Краснодарскому кр, Всекубанский классный час для 3 класса по теме Краснодарскому кр.
      1   2   3   4

    Московский физико-технический институт
    Кафедра общей физики
    Лекция 3:
    СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОННОГО ФЕРМИ-ГАЗА.
    заметки к лекциям по общей физике
    В.Н.Глазков
    Москва
    2016

    В данном пособии представлены материалы к лекции по теме «Свойства электронного ферми-газа» из курса «Квантовая макрофизика», преподаваемого на кафедре общей физики
    МФТИ.
    Пособие не претендует на полноту изложения материала и в основном является авторскими заметками к лекциям, оно содержит основные сведения по этой теме курса. Для подробного изучения тем студентам рекомендуется обратиться к классическому курсу Ч.Киттеля
    «Введение в физику твёрдого тела» [1] и другим источникам.
    Основной материал по этой теме содержится в главах 7 и 9 книги Киттеля [1].
    Темы этой лекции также освещены в методическом пособии А.И.Морозова «Электронная ферми-жидкость в металле» [2].
    Основные понятия этой лекции:
    1.Вырожденный ферми-газ.
    2.Энергия и импульс Ферми.
    3.Теплоёмкость вырожденного ферми-газа.
    4.Электрон в периодическом потенциале. Блоховские волновые функции.
    5.Приближение слабой связи.
    стр. 2 из 34
    v21.02.2016

    Оглавление
    Распределение Ферми........................................................................................................................4
    Ферми- и бозе-частицы. Принцип Паули....................................................................................4
    Идеальный ферми-газ при T=0.....................................................................................................5
    Идеальный ферми-газ при конечной температуре. Вырожденный ферми-газ........................6
    Плотность состояний.....................................................................................................................7
    Зависимость химического потенциала вырожденного ферми-газа от температуры...............8
    Связь энергии Ферми и поверхности Ферми с некоторыми известными физическими явлениями.....................................................................................................................................10
    Электрохимический потенциал, контактная разность потенциалов, термоЭДС..............11
    Связь модели ферми-газа с работой выхода из металла......................................................13
    Энергия и теплоёмкость идеального ферми-газа..........................................................................17
    Энергия ферми-газа при T=0. Давление ферми-газа................................................................17
    Теплоёмкость вырожденного ферми-газа. Качественные соображения.................................17
    Теплоёмкость вырожденного ферми-газа. Точный результат..................................................18
    Примеры измерения теплоёмкости ферми-систем...................................................................20
    Нормальный металл................................................................................................................20
    Жидкий 3He.............................................................................................................................21
    Энтропия ферми-газа и кривая плавления в 3He.................................................................23
    Системы «тяжёлых фермионов»............................................................................................24
    Возбуждения в вырожденных ферми-системах и вырожденные ферми-системы с взаимодействием...............................................................................................................................26
    Электронные и «дырочные» возбуждения в ферми-газе.........................................................26
    Качественное представление о роли взаимодействий в вырожденной ферми-системе.......28
    Критерий идеальности ферми-газа............................................................................................29
    Электроны в кристалле. Приближение слабой связи....................................................................30
    Качественные соображения........................................................................................................30
    Теорема Блоха и квазиимпульс электрона................................................................................30
    Спектр электронов в приближении слабой связи.....................................................................32
    Список литературы
    1: Ч.Киттель, Введение в физику твёрдого тела,
    2: А.И.Морозов, Электронная ферми-жидкость в металле, 2016 3: Wolfgang Pauli, Exclusion Principle and Quantum Mechanics, 1946 4: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц,, Курс теоретической физики т.3: Квантовая механика.
    Нерелятивистская теория.,
    5: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Курс теоретической физики т.5: Статистическая физика, часть
    1.,
    6: А.А.Абрикосов, Основы теории металлов, 2010 7: Ч.Киттель, Введение в физику твёрдого тела.,
    8: Справочное издание, Физические величины, 1991 9: Stefan Hüfner, Photoelectron Spectroscopy: Principles and Applications, 1995 10: F.Pobell, Matter and Methods at Low Tempertaures, 2007 11: N.Bernardes and D.F.Brewer, Liquid and Solid 3He, 1962 12: John E. Rives and Horst Meyer, Density of Liquid Helium-3 Between 0.045 and 1.3°K, 1961 13: D.S.Greywall, Specific heat of normal liquid 3He, 1983 14: R.C.Richardson, The Pomeranchuk Effect, 1996, http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1996/richardson-lecture.html стр. 3 из 34
    v21.02.2016

    15: G.R.Stewart, Heavy-fermion systems, 1984 16: Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц, Курс теоретической физики, том 9. Статистическая физика, часть 2., 2002
    Распределение Ферми.
    Ферми- и бозе-частицы. Принцип Паули.
    В квантовой физике существует два класса частиц
    1
    : бозе-частицы (бозоны) и ферми-частицы
    (фермионы). Принципиальным отличием между этими частицами является то, что несколько бозонов могут занимать одно квантовомеханическое состояние (то есть, волновые функции этих бозонов будут описываться одними и теми же квантовыми числами), в то время как для случая ферми-частиц в каждом квантовомеханическом состоянии может быть не более одной частицы.
    Утверждение о запрете двум фермионам находится в одном состоянии было сформулировано
    Вольфгангом Паули в 1925 году (изначально для электронов) и носит название принципа
    Паули (или запрета Паули).
    2
    В настоящий момент это утверждение прочно вошло в формализм квантовой теории: квантовая механика описывает различие между ферми- и бозе- частицами, как симметричность (для бозонов) или антисимметричность (для фермионов)
    волновой функции системы частиц к их перестановке [4]. Для частиц, обладающих спином,
    показано, что частицы с полуцелым спином всегда являются фермионами, а частицы с целым спином — бозонами [4].
    Ферми-частицами являются, в частности, электроны — поэтому во многих задачах физики твёрдого тела проявляются эффекты связанные с фермионной природой этих частиц. Также фермионами являются протоны и нейтроны. Атомы оказываются фермионами или бозонами в зависимости от числа входящих в них элементарных частиц. Например, изотоп
    4
    He является бозоном (4 электрона, 2 протона и 2 нейтрона при сложении момента дают нулевой полный спин), а изотоп
    3
    He (содержащий всего один нейтрон) — фермионом, и это отличие приводит к принципиальному отличию физических свойств этих веществ. В основном мы будем рассматривать в качестве примера ферми-частиц электроны.
    Принцип Паули определяет, например, почему при заполнении электронных уровней в атоме заполняются различные уровни энергии, вместо того чтобы собраться всем электронам в одном основном состоянии. Как мы увидим далее, и в системе большого (макроскопически большого) числа ферми-частиц наличие принципа Паули приводит к фундаментальным отличиям поведения такой системы от классических (не квантовых) представлений.
    Основным примером системы с большим числом ферми-частиц в нашем курсе будут электроны в кристалле. Мы начнём с того, что будем считать их не взаимодействующими ни друг с другом, ни с ионным остовом кристалла. Это приближение вообще говоря не очевидно
    — в металле расстояние между электронами иди от электрона до ближайшего иона порядка межатомного и кулоновская энергия взаимодействия была бы равна нескольким электронвольтам, то есть довольно большой. Оправданием этого приближения является то,
    что получаемые результаты (например описание вклада электронов в теплоёмкость) для хороших металлов окажется близко к экспериментально измеряемым величинам. В конце этой лекции и на следующей лекции мы получим ряд результатов, которые объяснят физическую причину того, почему это предположение оказывается хорошей моделью для реальных систем.
    1 Это просто напоминание известного из курса квантовой микрофизики (5 семестр) факта.
    2 История событий, приведших к формулировке этого принципа, изложена в Нобелевской лекции Паули [3]
    стр. 4 из 34
    v21.02.2016

    Идеальный ферми-газ при T=0.
    Рассмотрим модельную задачу большого числа N невзаимодействующих фермионов со спином 1/2, заключённых в объёме V при T =0 . Наша цель — определить, в каких состояниях находятся эти частицы.
    Для свободной частицы уравнение Шредингера имеет решения в форме плоских волн
    ψ

    k
    =
    e
    i kr
    . Энергия состояния с волновым вектором ⃗k равна E

    k
    =

    2
    k
    2 2 m
    Ограниченный объём образца приводит к необходимости ввести граничные условия. Как и в случае упругих колебаний, для большого образца объёмные физические свойства не должны зависеть от выбора граничных условий и формы — поэтому их можно выбрать математически удобным способом. Например, можно выбрать форму образца в виде куба со стороной L и наложить на волновые функции периодические граничные условия:
    ψ(
    x , y , z )=ψ(x+ L , y , z ) , ψ( x , y , z)=ψ(x , y+ L , z) и ψ( x , y , z )=ψ(x , y , z+L) .
    Тогда мы получим условия для возможных значений компонент волнового вектора
    e
    i k
    α
    L
    =
    1
    то есть k
    x
    , k
    y
    , k
    z
    =
    0,±
    2 π
    L
    ,±
    4 π
    L
    ... . «Разрешённые» значения волнового вектора образуют сетку с шагом
    2 π
    L
    в k-пространстве. На одно состояние в k-пространстве приходится объём k-пространства d
    3
    k =
    (
    2 π)
    3
    L
    3
    =
    (
    2 π)
    3
    V
    3
    При нулевой температуре полная энергия нашей системы (сумма кинетических энергий всех невзаимодействующих частиц) должна быть минимальна. Однако из-за принципа Паули в состоянии с одинаковыми значениями волнового вектора может находиться только две частицы (отличающиеся проекцией спина на выбранную ось). Это значит, что в состоянии с минимальной энергией E=0 поместится только две частицы, а следующие частицы будут занимать новые и новые состояния со всё нарастающим

    k

    . Для большого числа частиц
    N занятые состояния займут места внутри некоторой сферы (ферми-сферы) в k- пространстве. Поверхность этой сферы называется поверхностью Ферми. Радиус этой сферы
    (называемый радиусом Ферми) определяется числом частиц:
    4 3
    π
    k
    F
    3
    =
    N
    2
    (
    2 π)
    3
    V
    =(
    2 π)
    3
    n
    2
    k
    F
    =
    3

    3 π
    2
    n
    где n - концентрация частиц, N – полное число ферми-частиц, деление числа частиц пополам связано со спиновым вырождением и отражает тот факт, что в одном состоянии в импульсном пространстве могут находиться две частицы со спином 1/2.
    Энергия частиц с фермиевским импульсом
    p
    F
    =ℏ
    k
    F
    называется энергией Ферми или
    уровнем Ферми, она равна
    E
    F
    =

    2
    k
    F
    2 2 m
    =

    2 2 m
    (
    3 π
    2
    n)
    2/ 3
    Скорость электронов на уровне Ферми называют
    скоростью Ферми
    3 Это тот же объём k-пространства, что и объём, приходящийся на одно колебание в задаче о колебаниях. Это не удивительно, так как оба результата математически являются следствием наложения периодических граничных условий.
    стр. 5 из 34
    v21.02.2016

    V
    F
    =
    p
    F
    m
    =

    k
    F
    m
    =

    2 E
    F
    m
    Оценим характерные величины фермиевского волнового вектора и энергии для типичного металла. При постоянной решётки 2Å и одном свободном электроне на элементарную ячейку концентрация электронов n≃10 23 1/см
    3
    (для сравнения данные по реальным металлам представлены в таблице 1), откуда
    k
    F

    10 8
    1/см
    (порядка типичной длины бриллюэновского волнового вектора), скорость Ферми V
    F

    10 8
    см /сек=1000 км /сек и
    E
    F

    5⋅10

    12
    эрг≃3 эВ . Эта оценка означает, что для электронов в металле квантовые свойства, связанные с принципом Паули, проявляются уже при комнатной температуре (
    E
    F
    /
    k
    B

    30000 К
    )
    Идеальный ферми-газ при конечной температуре. Вырожденный
    ферми-газ.
    Функция распределения (среднее число частиц в состоянии с данной энергией) для ферми- частиц может быть найдена методами статистической физики [5]: n (E)=
    1
    e
    E −μ
    T
    +
    1
    , где
    μ
    - химический потенциал (энергия, необходимая для добавления ещё одной частицы к системе). Химический потенциал, вообще говоря, является функцией температуры, эта зависимость неявно выражается нормировкой на число частиц N =

    0

    n(E ) D(E )dE , где
    D( E) - плотность состояний.
    4
    Зависимость числа заполнения состояний от температуры показана на рисунке 1. При нулевой температуре эта зависимость имеет форму ступеньки с резким скачком при E=μ ,
    что соответствует разобранному выше случаю. При T =0 химический потенциал по определению совпадает с энергией Ферми.
    При повышении температуры сначала происходит размытие «ступеньки» на функции распределения в полосе шириной ∼T вблизи E=μ , но при этом до примерно
    T /μ≃0.1 числа заполнения вдали от E=μ остаются равными 1 или 0, как и при нулевой температуре. Такое слабое влияние температуры также связано с принципом Паули: для того,
    чтобы перевести ферми-частицу из одного состояния в другое необходимо не только наличие частицы в исходном состоянии, но и наличие свободного места среди конечных состояний.
    Так как при тепловых процессах характерный обмен энергиями имеет порядок температуры,
    то при T ≪μ процессы при которых частица с энергией много меньшей химического потенциала будет переведена в одно из свободных состояний (которые в основном имеют энергию вблизи и выше уровня химического потенциала) крайне маловероятны.
    4 По определению, плотность состояний это число квантовомеханических состояний на единичный интервал энергии
    D( E)=
    dN
    dE
    . Плотность состояний включает в себя спиновое вырождение.
    стр. 6 из 34
    v21.02.2016

    Как уже отмечалось, для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах можно считать T ≪μ . В этом пределе функция распределения имеет вид слегка размытой ступеньки. Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. В
    другом предельном случае T ≫μ ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.
    Плотность состояний.
    Для дальнейших вычислений будет удобно использовать понятие плотности состояний:
    числа квантовых состояний на единичный интервал энергии. Как мы показали, в k- пространстве на одно состояние приходится объём
    (
    2 π)
    3
    V
    . Тогда (считаем S =1/ 2 ) для невзаимодействующих частиц, пользуясь сферической симметрией задачи:
    D( E)=
    dN
    dE
    =
    2
    V
    (
    2 π)
    3
    dV
    k
    dE
    =
    2
    V
    (
    2 π)
    3 4 π k
    2
    dk

    2
    m
    k dk
    =
    V m
    π
    2

    2
    k =
    V m
    π
    2

    2

    2 m E

    2
    =
    =
    V

    2
    π
    2
    (

    m

    )
    3

    E=
    3 N
    2 1
    E
    F

    E
    E
    F
    Плотность состояний на уровне Ферми (для трёхмерного нерелятивистского ферми-газа)
    стр. 7 из 34
    v21.02.2016
    Рисунок 1: Функция распределения для ферми-частиц при разных значениях температуры.

    D( E
    F
    )=
    3 N
    2 E
    F
    Этот результат получен для трёхмерной задачи, аналогично в двумерном случае
    D( E)=
    dN
    dE
    =
    2
    S
    (
    2 π)
    2
    dS

    k
    dE
    =
    2
    S
    (
    2 π)
    2 2 π k dk

    2
    m
    k dk
    =
    S m
    π ℏ
    2
    Зависимость химического потенциала вырожденного ферми-газа от
    температуры.
    Рассмотрим сначала этот вопрос качественно, при качественном рассмотрении ограничимся только трёхмерным случаем. Температуру будем считать малой, так что числа заполнения отличаются от значений при
    T =0
    только в узкой окрестности энергии Ферми. Построим на одном графике (рисунок 2) зависимость чисел заполнения от энергии при нашей температуре n (T ) и «ступенькообразную» фермиевскую функцию при
    T =0
    для того же значения химпотенциала n (T =0) (рисунок 2).
    Заметим, что при E
    n (T =0)−n(T )=1−
    1
    e
    (
    E −μ)/T
    +
    1
    =
    1
    e

    E−μ

    /
    T
    +
    1
    , а при E
    n (T )−n(T =0)=
    1
    e

    E−μ

    /
    T
    +
    1
    , где μ — химпотенциал при данной температуре. Эти функции совпадают, а значит площади криволинейных треугольников, образующихся между кривыми
    n (T =0) и
    n (T ) совпадают
    5
    , эти площади равны
    5 В силу экспоненциально быстрого приближения
    n (T )
    к единице при уменьшении энергии ниже
    μ
    пределы интегрирования в обоих случаях можно расширить до бесконечности. стр. 8 из 34
    v21.02.2016
    Рисунок 2: Сравнение чисел заполнения при T =0 (пунктир) и при небольшой конечной
    температуре (сплошная кривая) при совпадающих значениях химпотенциала.
    0 1
    0.95 1.05
    T=0
    T/
    m
    =0.01
    E/
    m n


    0

    1
    e
    ε/
    T
    +
    1
    d ε=T

    0

    dx
    e
    x
    +
    1
    =
    T ln2 . С другой стороны, мы должны соблюдать условие нормировки N =

    0

    n(E ) D(E )dE , а плотность состояний является растущей функцией энергии D(E )=
    3 N
    2 1
    E
    F

    E
    E
    F
    . Для грубой оценки можно считать, что в правом криволинейном треугольнике плотность состояний больше чем в левом на
    Δ
    D
    dD
    d E

    E
    0
    T =
    3 4
    N
    T
    μ
    0 2
    , где μ
    0
    — значение химпотенциала при T =0 . Это означает,
    что если бы химпотенциал остался неизменным, то вычисленное по условию нормировки число частиц увеличилось бы на Δ NN
    T
    2
    μ
    0 2
    (с точностью нашей оценки, это изменение равно произведению площади криволинейного треугольника на характерную разницу плотностей состояний).
    Для компенсации этого эффекта мы должны уменьшить химпотенциал — других степеней свободы в этой задаче нет. Так как при нулевой температуре μ
    0

    N
    2 /3
    , то с точностью нашей оценки
    δμ
    μ
    0

    δ
    N
    N
    и, следовательно,
    μ(
    T )=μ
    0
    (
    1−a
    T
    2
    μ
    0 2
    )
    , где
    a∼1
    . Точный расчёт, который мы приведём ниже, даёт ответ μ(T )=μ
    0
    − π
    2 12
    T
    2
    μ
    0
    Найдём теперь строго, как меняется химпотенциал идеального ферми-газа с температурой,
    этот вывод следует книге [6].
    В функции распределения n=
    1
    e
    E −μ
    T
    +
    1
    химпотенциал μ=μ (T ) является функцией температуры. Продифференцируем с учётом этого по температуре

    n

    T
    =
    e
    E −μ
    T
    (
    e
    E−μ
    T
    +
    1
    )
    2
    (
    E−μ
    T
    2
    +
    1
    T
    ∂μ

    T
    )
    и заметим, что

    n

    E
    =−
    1
    T
    e
    E −μ
    T
    (
    e
    E −μ
    T
    +
    1
    )
    2
    =−
    1 4T
    1
    ch
    2
    (
    E −μ
    2T
    )
    то есть

    n

    T
    =−

    n

    E
    (
    E−μ
    T
    +
    ∂μ

    T
    )
    Для вырожденного ферми-газа

    n

    E
    имеет острый максимум вблизи E=μ и равна нулю вдали от этой точки.
    Дифференцируя по температуре условие нормировки из сохранения числа частиц имеем
    dN
    dT
    =
    0 ⇒


    n

    T
    d
    3
    k =0
    стр. 9 из 34
    v21.02.2016
    откуда


    n

    E
    (
    E−μ
    T
    +
    ∂μ

    T
    )

    E dE=0
    Пользуясь тем, что

    n

    E
    отлична от нуля только в узкой области вблизи E=μ мы можем разложить все функции энергии вблизи E=μ и распространить интегрирование на бесконечные пределы. Обозначаем x= E−μ , тогда

    E=

    μ+
    x

    μ+
    x
    2

    μ
    и интегральное уравнение преобразуется в

    −∞
    +∞
    1
    ch
    2
    x
    2 T
    (
    x
    T
    +
    ∂μ

    T
    )
    (

    μ+
    x
    2

    μ
    )
    dx=0
    Из-за чётности квадрата гиперболического косинуса при раскрытии скобок нечётные степени
    x уничтожаются при интегрировании. Тогда, после замены переменной ξ=x /(2 T ) ,
    остаётся
    4T
    2

    μ

    −∞
    +∞
    ξ
    2
    ch
    2
    ξ
    d ξ+2T

    μ
    ∂μ

    T

    −∞
    +∞
    1
    ch
    2
    ξ
    d ξ=0
    ∂μ

    T
    =−
    2
    T
    μ

    −∞
    +∞
    ξ
    2
    ch
    2
    ξ
    d ξ

    −∞
    +∞
    1
    ch
    2
    ξ
    d ξ
    =−
    2
    T
    μ
    π
    2
    /
    6 2
    =− π
    2 6
    T
    μ
    И окончательно μ(T )≈μ
    0
    (
    1− π
    2 12
    T
    2
    μ
    0 2
    )
    Отметим, что в двумерном случае химпотенциал оказывается с этой точностью не зависящим от температуры
    6
    , а в одномерном он наоборот растёт с температурой.
      1   2   3   4


    написать администратору сайта