Главная страница
Навигация по странице:

  • Список литературы

  • Распределение Ферми. Ферми- и бозе-частицы. Принцип Паули.

  • Идеальный ферми-газ при T=0.

  • Идеальный ферми-газ при конечной температуре. Вырожденный

  • Плотность состояний.

  • Зависимость химического потенциала вырожденного ферми-газа от температуры.

  • Лекции по теме Свойства электронного фермигаза из курса Квантовая макрофизика


    Скачать 0.89 Mb.
    НазваниеЛекции по теме Свойства электронного фермигаза из курса Квантовая макрофизика
    Дата06.05.2019
    Размер0.89 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файла03-fermi-2016_feb21 (1).pdf.pdf
    ТипЛекции
    #56658
    страница1 из 4
      1   2   3   4

    Московский физико-технический институт
    Кафедра общей физики
    Лекция 3:
    СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОННОГО ФЕРМИ-ГАЗА.
    заметки к лекциям по общей физике
    В.Н.Глазков
    Москва
    2016

    В данном пособии представлены материалы к лекции по теме «Свойства электронного ферми-газа» из курса «Квантовая макрофизика», преподаваемого на кафедре общей физики
    МФТИ.
    Пособие не претендует на полноту изложения материала и в основном является авторскими заметками к лекциям, оно содержит основные сведения по этой теме курса. Для подробного изучения тем студентам рекомендуется обратиться к классическому курсу Ч.Киттеля
    «Введение в физику твёрдого тела» [1] и другим источникам.
    Основной материал по этой теме содержится в главах 7 и 9 книги Киттеля [1].
    Темы этой лекции также освещены в методическом пособии А.И.Морозова «Электронная ферми-жидкость в металле» [2].
    Основные понятия этой лекции:
    1.Вырожденный ферми-газ.
    2.Энергия и импульс Ферми.
    3.Теплоёмкость вырожденного ферми-газа.
    4.Электрон в периодическом потенциале. Блоховские волновые функции.
    5.Приближение слабой связи.
    стр. 2 из 34
    v21.02.2016

    Оглавление
    Распределение Ферми........................................................................................................................4
    Ферми- и бозе-частицы. Принцип Паули....................................................................................4
    Идеальный ферми-газ при T=0.....................................................................................................5
    Идеальный ферми-газ при конечной температуре. Вырожденный ферми-газ........................6
    Плотность состояний.....................................................................................................................7
    Зависимость химического потенциала вырожденного ферми-газа от температуры...............8
    Связь энергии Ферми и поверхности Ферми с некоторыми известными физическими явлениями.....................................................................................................................................10
    Электрохимический потенциал, контактная разность потенциалов, термоЭДС..............11
    Связь модели ферми-газа с работой выхода из металла......................................................13
    Энергия и теплоёмкость идеального ферми-газа..........................................................................17
    Энергия ферми-газа при T=0. Давление ферми-газа................................................................17
    Теплоёмкость вырожденного ферми-газа. Качественные соображения.................................17
    Теплоёмкость вырожденного ферми-газа. Точный результат..................................................18
    Примеры измерения теплоёмкости ферми-систем...................................................................20
    Нормальный металл................................................................................................................20
    Жидкий 3He.............................................................................................................................21
    Энтропия ферми-газа и кривая плавления в 3He.................................................................23
    Системы «тяжёлых фермионов»............................................................................................24
    Возбуждения в вырожденных ферми-системах и вырожденные ферми-системы с взаимодействием...............................................................................................................................26
    Электронные и «дырочные» возбуждения в ферми-газе.........................................................26
    Качественное представление о роли взаимодействий в вырожденной ферми-системе.......28
    Критерий идеальности ферми-газа............................................................................................29
    Электроны в кристалле. Приближение слабой связи....................................................................30
    Качественные соображения........................................................................................................30
    Теорема Блоха и квазиимпульс электрона................................................................................30
    Спектр электронов в приближении слабой связи.....................................................................32
    Список литературы
    1: Ч.Киттель, Введение в физику твёрдого тела,
    2: А.И.Морозов, Электронная ферми-жидкость в металле, 2016 3: Wolfgang Pauli, Exclusion Principle and Quantum Mechanics, 1946 4: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц,, Курс теоретической физики т.3: Квантовая механика.
    Нерелятивистская теория.,
    5: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Курс теоретической физики т.5: Статистическая физика, часть
    1.,
    6: А.А.Абрикосов, Основы теории металлов, 2010 7: Ч.Киттель, Введение в физику твёрдого тела.,
    8: Справочное издание, Физические величины, 1991 9: Stefan Hüfner, Photoelectron Spectroscopy: Principles and Applications, 1995 10: F.Pobell, Matter and Methods at Low Tempertaures, 2007 11: N.Bernardes and D.F.Brewer, Liquid and Solid 3He, 1962 12: John E. Rives and Horst Meyer, Density of Liquid Helium-3 Between 0.045 and 1.3°K, 1961 13: D.S.Greywall, Specific heat of normal liquid 3He, 1983 14: R.C.Richardson, The Pomeranchuk Effect, 1996, http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1996/richardson-lecture.html стр. 3 из 34
    v21.02.2016

    15: G.R.Stewart, Heavy-fermion systems, 1984 16: Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшиц, Курс теоретической физики, том 9. Статистическая физика, часть 2., 2002
    Распределение Ферми.
    Ферми- и бозе-частицы. Принцип Паули.
    В квантовой физике существует два класса частиц
    1
    : бозе-частицы (бозоны) и ферми-частицы
    (фермионы). Принципиальным отличием между этими частицами является то, что несколько бозонов могут занимать одно квантовомеханическое состояние (то есть, волновые функции этих бозонов будут описываться одними и теми же квантовыми числами), в то время как для случая ферми-частиц в каждом квантовомеханическом состоянии может быть не более одной частицы.
    Утверждение о запрете двум фермионам находится в одном состоянии было сформулировано
    Вольфгангом Паули в 1925 году (изначально для электронов) и носит название принципа
    Паули (или запрета Паули).
    2
    В настоящий момент это утверждение прочно вошло в формализм квантовой теории: квантовая механика описывает различие между ферми- и бозе- частицами, как симметричность (для бозонов) или антисимметричность (для фермионов)
    волновой функции системы частиц к их перестановке [4]. Для частиц, обладающих спином,
    показано, что частицы с полуцелым спином всегда являются фермионами, а частицы с целым спином — бозонами [4].
    Ферми-частицами являются, в частности, электроны — поэтому во многих задачах физики твёрдого тела проявляются эффекты связанные с фермионной природой этих частиц. Также фермионами являются протоны и нейтроны. Атомы оказываются фермионами или бозонами в зависимости от числа входящих в них элементарных частиц. Например, изотоп
    4
    He является бозоном (4 электрона, 2 протона и 2 нейтрона при сложении момента дают нулевой полный спин), а изотоп
    3
    He (содержащий всего один нейтрон) — фермионом, и это отличие приводит к принципиальному отличию физических свойств этих веществ. В основном мы будем рассматривать в качестве примера ферми-частиц электроны.
    Принцип Паули определяет, например, почему при заполнении электронных уровней в атоме заполняются различные уровни энергии, вместо того чтобы собраться всем электронам в одном основном состоянии. Как мы увидим далее, и в системе большого (макроскопически большого) числа ферми-частиц наличие принципа Паули приводит к фундаментальным отличиям поведения такой системы от классических (не квантовых) представлений.
    Основным примером системы с большим числом ферми-частиц в нашем курсе будут электроны в кристалле. Мы начнём с того, что будем считать их не взаимодействующими ни друг с другом, ни с ионным остовом кристалла. Это приближение вообще говоря не очевидно
    — в металле расстояние между электронами иди от электрона до ближайшего иона порядка межатомного и кулоновская энергия взаимодействия была бы равна нескольким электронвольтам, то есть довольно большой. Оправданием этого приближения является то,
    что получаемые результаты (например описание вклада электронов в теплоёмкость) для хороших металлов окажется близко к экспериментально измеряемым величинам. В конце этой лекции и на следующей лекции мы получим ряд результатов, которые объяснят физическую причину того, почему это предположение оказывается хорошей моделью для реальных систем.
    1 Это просто напоминание известного из курса квантовой микрофизики (5 семестр) факта.
    2 История событий, приведших к формулировке этого принципа, изложена в Нобелевской лекции Паули [3]
    стр. 4 из 34
    v21.02.2016

    Идеальный ферми-газ при T=0.
    Рассмотрим модельную задачу большого числа N невзаимодействующих фермионов со спином 1/2, заключённых в объёме V при T =0 . Наша цель — определить, в каких состояниях находятся эти частицы.
    Для свободной частицы уравнение Шредингера имеет решения в форме плоских волн
    ψ

    k
    =
    e
    i kr
    . Энергия состояния с волновым вектором ⃗k равна E

    k
    =

    2
    k
    2 2 m
    Ограниченный объём образца приводит к необходимости ввести граничные условия. Как и в случае упругих колебаний, для большого образца объёмные физические свойства не должны зависеть от выбора граничных условий и формы — поэтому их можно выбрать математически удобным способом. Например, можно выбрать форму образца в виде куба со стороной L и наложить на волновые функции периодические граничные условия:
    ψ(
    x , y , z )=ψ(x+ L , y , z ) , ψ( x , y , z)=ψ(x , y+ L , z) и ψ( x , y , z )=ψ(x , y , z+L) .
    Тогда мы получим условия для возможных значений компонент волнового вектора
    e
    i k
    α
    L
    =
    1
    то есть k
    x
    , k
    y
    , k
    z
    =
    0,±
    2 π
    L
    ,±
    4 π
    L
    ... . «Разрешённые» значения волнового вектора образуют сетку с шагом
    2 π
    L
    в k-пространстве. На одно состояние в k-пространстве приходится объём k-пространства d
    3
    k =
    (
    2 π)
    3
    L
    3
    =
    (
    2 π)
    3
    V
    3
    При нулевой температуре полная энергия нашей системы (сумма кинетических энергий всех невзаимодействующих частиц) должна быть минимальна. Однако из-за принципа Паули в состоянии с одинаковыми значениями волнового вектора может находиться только две частицы (отличающиеся проекцией спина на выбранную ось). Это значит, что в состоянии с минимальной энергией E=0 поместится только две частицы, а следующие частицы будут занимать новые и новые состояния со всё нарастающим

    k

    . Для большого числа частиц
    N занятые состояния займут места внутри некоторой сферы (ферми-сферы) в k- пространстве. Поверхность этой сферы называется поверхностью Ферми. Радиус этой сферы
    (называемый радиусом Ферми) определяется числом частиц:
    4 3
    π
    k
    F
    3
    =
    N
    2
    (
    2 π)
    3
    V
    =(
    2 π)
    3
    n
    2
    k
    F
    =
    3

    3 π
    2
    n
    где n - концентрация частиц, N – полное число ферми-частиц, деление числа частиц пополам связано со спиновым вырождением и отражает тот факт, что в одном состоянии в импульсном пространстве могут находиться две частицы со спином 1/2.
    Энергия частиц с фермиевским импульсом
    p
    F
    =ℏ
    k
    F
    называется энергией Ферми или
    уровнем Ферми, она равна
    E
    F
    =

    2
    k
    F
    2 2 m
    =

    2 2 m
    (
    3 π
    2
    n)
    2/ 3
    Скорость электронов на уровне Ферми называют
    скоростью Ферми
    3 Это тот же объём k-пространства, что и объём, приходящийся на одно колебание в задаче о колебаниях. Это не удивительно, так как оба результата математически являются следствием наложения периодических граничных условий.
    стр. 5 из 34
    v21.02.2016

    V
    F
    =
    p
    F
    m
    =

    k
    F
    m
    =

    2 E
    F
    m
    Оценим характерные величины фермиевского волнового вектора и энергии для типичного металла. При постоянной решётки 2Å и одном свободном электроне на элементарную ячейку концентрация электронов n≃10 23 1/см
    3
    (для сравнения данные по реальным металлам представлены в таблице 1), откуда
    k
    F

    10 8
    1/см
    (порядка типичной длины бриллюэновского волнового вектора), скорость Ферми V
    F

    10 8
    см /сек=1000 км /сек и
    E
    F

    5⋅10

    12
    эрг≃3 эВ . Эта оценка означает, что для электронов в металле квантовые свойства, связанные с принципом Паули, проявляются уже при комнатной температуре (
    E
    F
    /
    k
    B

    30000 К
    )
    Идеальный ферми-газ при конечной температуре. Вырожденный
    ферми-газ.
    Функция распределения (среднее число частиц в состоянии с данной энергией) для ферми- частиц может быть найдена методами статистической физики [5]: n (E)=
    1
    e
    E −μ
    T
    +
    1
    , где
    μ
    - химический потенциал (энергия, необходимая для добавления ещё одной частицы к системе). Химический потенциал, вообще говоря, является функцией температуры, эта зависимость неявно выражается нормировкой на число частиц N =

    0

    n(E ) D(E )dE , где
    D( E) - плотность состояний.
    4
    Зависимость числа заполнения состояний от температуры показана на рисунке 1. При нулевой температуре эта зависимость имеет форму ступеньки с резким скачком при E=μ ,
    что соответствует разобранному выше случаю. При T =0 химический потенциал по определению совпадает с энергией Ферми.
    При повышении температуры сначала происходит размытие «ступеньки» на функции распределения в полосе шириной ∼T вблизи E=μ , но при этом до примерно
    T /μ≃0.1 числа заполнения вдали от E=μ остаются равными 1 или 0, как и при нулевой температуре. Такое слабое влияние температуры также связано с принципом Паули: для того,
    чтобы перевести ферми-частицу из одного состояния в другое необходимо не только наличие частицы в исходном состоянии, но и наличие свободного места среди конечных состояний.
    Так как при тепловых процессах характерный обмен энергиями имеет порядок температуры,
    то при T ≪μ процессы при которых частица с энергией много меньшей химического потенциала будет переведена в одно из свободных состояний (которые в основном имеют энергию вблизи и выше уровня химического потенциала) крайне маловероятны.
    4 По определению, плотность состояний это число квантовомеханических состояний на единичный интервал энергии
    D( E)=
    dN
    dE
    . Плотность состояний включает в себя спиновое вырождение.
    стр. 6 из 34
    v21.02.2016

    Как уже отмечалось, для важного случая электронов в металле при всех разумных температурах можно считать T ≪μ . В этом пределе функция распределения имеет вид слегка размытой ступеньки. Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. В
    другом предельном случае T ≫μ ферми-газ называют невырожденным, числа заполнения невырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановской статистикой.
    Плотность состояний.
    Для дальнейших вычислений будет удобно использовать понятие плотности состояний:
    числа квантовых состояний на единичный интервал энергии. Как мы показали, в k- пространстве на одно состояние приходится объём
    (
    2 π)
    3
    V
    . Тогда (считаем S =1/ 2 ) для невзаимодействующих частиц, пользуясь сферической симметрией задачи:
    D( E)=
    dN
    dE
    =
    2
    V
    (
    2 π)
    3
    dV
    k
    dE
    =
    2
    V
    (
    2 π)
    3 4 π k
    2
    dk

    2
    m
    k dk
    =
    V m
    π
    2

    2
    k =
    V m
    π
    2

    2

    2 m E

    2
    =
    =
    V

    2
    π
    2
    (

    m

    )
    3

    E=
    3 N
    2 1
    E
    F

    E
    E
    F
    Плотность состояний на уровне Ферми (для трёхмерного нерелятивистского ферми-газа)
    стр. 7 из 34
    v21.02.2016
    Рисунок 1: Функция распределения для ферми-частиц при разных значениях температуры.

    D( E
    F
    )=
    3 N
    2 E
    F
    Этот результат получен для трёхмерной задачи, аналогично в двумерном случае
    D( E)=
    dN
    dE
    =
    2
    S
    (
    2 π)
    2
    dS

    k
    dE
    =
    2
    S
    (
    2 π)
    2 2 π k dk

    2
    m
    k dk
    =
    S m
    π ℏ
    2
    Зависимость химического потенциала вырожденного ферми-газа от
    температуры.
    Рассмотрим сначала этот вопрос качественно, при качественном рассмотрении ограничимся только трёхмерным случаем. Температуру будем считать малой, так что числа заполнения отличаются от значений при
    T =0
    только в узкой окрестности энергии Ферми. Построим на одном графике (рисунок 2) зависимость чисел заполнения от энергии при нашей температуре n (T ) и «ступенькообразную» фермиевскую функцию при
    T =0
    для того же значения химпотенциала n (T =0) (рисунок 2).
    Заметим, что при E
    n (T =0)−n(T )=1−
    1
    e
    (
    E −μ)/T
    +
    1
    =
    1
    e

    E−μ

    /
    T
    +
    1
    , а при E
    n (T )−n(T =0)=
    1
    e

    E−μ

    /
    T
    +
    1
    , где μ — химпотенциал при данной температуре. Эти функции совпадают, а значит площади криволинейных треугольников, образующихся между кривыми
    n (T =0) и
    n (T ) совпадают
    5
    , эти площади равны
    5 В силу экспоненциально быстрого приближения
    n (T )
    к единице при уменьшении энергии ниже
    μ
    пределы интегрирования в обоих случаях можно расширить до бесконечности. стр. 8 из 34
    v21.02.2016
    Рисунок 2: Сравнение чисел заполнения при T =0 (пунктир) и при небольшой конечной
    температуре (сплошная кривая) при совпадающих значениях химпотенциала.
    0 1
    0.95 1.05
    T=0
    T/
    m
    =0.01
    E/
    m n


    0

    1
    e
    ε/
    T
    +
    1
    d ε=T

    0

    dx
    e
    x
    +
    1
    =
    T ln2 . С другой стороны, мы должны соблюдать условие нормировки N =

    0

    n(E ) D(E )dE , а плотность состояний является растущей функцией энергии D(E )=
    3 N
    2 1
    E
    F

    E
    E
    F
    . Для грубой оценки можно считать, что в правом криволинейном треугольнике плотность состояний больше чем в левом на
    Δ
    D
    dD
    d E

    E
    0
    T =
    3 4
    N
    T
    μ
    0 2
    , где μ
    0
    — значение химпотенциала при T =0 . Это означает,
    что если бы химпотенциал остался неизменным, то вычисленное по условию нормировки число частиц увеличилось бы на Δ NN
    T
    2
    μ
    0 2
    (с точностью нашей оценки, это изменение равно произведению площади криволинейного треугольника на характерную разницу плотностей состояний).
    Для компенсации этого эффекта мы должны уменьшить химпотенциал — других степеней свободы в этой задаче нет. Так как при нулевой температуре μ
    0

    N
    2 /3
    , то с точностью нашей оценки
    δμ
    μ
    0

    δ
    N
    N
    и, следовательно,
    μ(
    T )=μ
    0
    (
    1−a
    T
    2
    μ
    0 2
    )
    , где
    a∼1
    . Точный расчёт, который мы приведём ниже, даёт ответ μ(T )=μ
    0
    − π
    2 12
    T
    2
    μ
    0
    Найдём теперь строго, как меняется химпотенциал идеального ферми-газа с температурой,
    этот вывод следует книге [6].
    В функции распределения n=
    1
    e
    E −μ
    T
    +
    1
    химпотенциал μ=μ (T ) является функцией температуры. Продифференцируем с учётом этого по температуре

    n

    T
    =
    e
    E −μ
    T
    (
    e
    E−μ
    T
    +
    1
    )
    2
    (
    E−μ
    T
    2
    +
    1
    T
    ∂μ

    T
    )
    и заметим, что

    n

    E
    =−
    1
    T
    e
    E −μ
    T
    (
    e
    E −μ
    T
    +
    1
    )
    2
    =−
    1 4T
    1
    ch
    2
    (
    E −μ
    2T
    )
    то есть

    n

    T
    =−

    n

    E
    (
    E−μ
    T
    +
    ∂μ

    T
    )
    Для вырожденного ферми-газа

    n

    E
    имеет острый максимум вблизи E=μ и равна нулю вдали от этой точки.
    Дифференцируя по температуре условие нормировки из сохранения числа частиц имеем
    dN
    dT
    =
    0 ⇒


    n

    T
    d
    3
    k =0
    стр. 9 из 34
    v21.02.2016
    откуда


    n

    E
    (
    E−μ
    T
    +
    ∂μ

    T
    )

    E dE=0
    Пользуясь тем, что

    n

    E
    отлична от нуля только в узкой области вблизи E=μ мы можем разложить все функции энергии вблизи E=μ и распространить интегрирование на бесконечные пределы. Обозначаем x= E−μ , тогда

    E=

    μ+
    x

    μ+
    x
    2

    μ
    и интегральное уравнение преобразуется в

    −∞
    +∞
    1
    ch
    2
    x
    2 T
    (
    x
    T
    +
    ∂μ

    T
    )
    (

    μ+
    x
    2

    μ
    )
    dx=0
    Из-за чётности квадрата гиперболического косинуса при раскрытии скобок нечётные степени
    x уничтожаются при интегрировании. Тогда, после замены переменной ξ=x /(2 T ) ,
    остаётся
    4T
    2

    μ

    −∞
    +∞
    ξ
    2
    ch
    2
    ξ
    d ξ+2T

    μ
    ∂μ

    T

    −∞
    +∞
    1
    ch
    2
    ξ
    d ξ=0
    ∂μ

    T
    =−
    2
    T
    μ

    −∞
    +∞
    ξ
    2
    ch
    2
    ξ
    d ξ

    −∞
    +∞
    1
    ch
    2
    ξ
    d ξ
    =−
    2
    T
    μ
    π
    2
    /
    6 2
    =− π
    2 6
    T
    μ
    И окончательно μ(T )≈μ
    0
    (
    1− π
    2 12
    T
    2
    μ
    0 2
    )
    Отметим, что в двумерном случае химпотенциал оказывается с этой точностью не зависящим от температуры
    6
    , а в одномерном он наоборот растёт с температурой.
      1   2   3   4

    написать администратору сайта