Главная страница
Навигация по странице:

  • Пример 1.

  • Лекция1. Лекция Уравнения в частных производных первого порядка


    Скачать 138.5 Kb.
    НазваниеЛекция Уравнения в частных производных первого порядка
    АнкорЛекция1.doc
    Дата17.09.2017
    Размер138.5 Kb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаЛекция1.doc
    ТипЛекция
    #22690
    КатегорияМатематика

    Подборка по базе: 3 лекция Press-Fit.doc, авторские школы лекция 3 курс.docx, 230320 Тема 2 Лекция 1.docx, 30.04. Лекция. Интервальное оценивание.docx, ДЖП лекция.ppt, ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СПРОСА МАГИСТРЫ лекция №4.pptx, биология лекция 24.03.2020.docx, БД в СУ ЛЕКЦИЯ 5.pptx, Филиал №12 Лекция.docx, ис по уир лекция.pdf

    Лекция 1. Уравнения в частных производных первого порядка.

    Введение.

    Различные физические явления описываются дифференциальными уравнениями в частных производных:

    - уравнение теплопроводности,

    - уравнение колебаний,

    - уравнение Лапласа и т. д.

    Различным методам интегрирования уравнений в частных производных второго порядка и посвящён наш курс лекций. Но прежде чем перейти к этим задачам рассмотрим методы интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, теория которых тесно связана с интегрированием некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведём несколько простейших примеров.

    Пример 1.

    ,

    интегрируя по

    ,

    где - произвольная функция переменой .

    Пример 2.



    Сделаем замену , тогда , , а так как , то , а . Исходное уравнение преобразуется к виду;


    интегрируя по переменной , получим:
    .
    § 1. Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.

    Определение. Квазилинейным уравнением первого порядка в частных производных называется уравнение вида:

    Это уравнение линейно относительно производных, но может быть нелинейным относительно неизвестной функции .

    Рассмотрим вначале квазилинейное уравнение с двумя независимыми переменными.

    (1)

    Составим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

    Пусть и два независимых интеграла этой системы.

    Теорема 1. Общее решение уравнения (1) может быть записано в виде
    ,
    где произвольная функция.

    Доказательство. Уравнение (1) можно интерпретировать как скалярное произведение векторов и , где первый вектор есть нормаль к поверхности , если же эта поверхность задана неявно , то условие ортогональности нормали и вектора приобретает вид:
    (2)

    Следовательно, для решения уравнения (1) достаточно проинтегрировать уравнение (2). Пусть некоторое решение (2) покажем, что , но






    Так как мы предполагаем, что P, Q и R одновременно не обращаются в ноль, то приходим к выводу, что определитель этой системы



    тождественно равен нулю в рассматриваемой области. Но тождественное обращение в ноль якобиана указывает на наличие функциональной зависимости между этими функциями, т.е. , но из независимости и немедленно следует, что .■

    Чтобы найти поверхность , удовлетворяющую дифференциальному уравнению (1) и проходящую через данную линию:

    надо в найденные первые интегралы
    (3)
    подставить вместо их выражения через параметр . Получится два уравнения вида
    (4)
    Исключив из них , получим соотношение , подставив вместо , левые части из (3) получим искомое решение.
    В том случае, когда в оба уравнения (4) не входят , тогда заданная линия является характеристикой системы и задача Коши имеет бесконечно много решений.
    Пример 3. Найти общее решение уравнения

    А также интегральную поверхность, проходящую через данную линию , .

    Решение. Составляем систему уравнений

    и находим её первые интегралы , , следовательно, общее решение можно записать в неявном виде , т.к. входит только в один из первых интегралов, то решение можно записать в явном виде . Чтобы найти поверхность проходящую через линию нужно поставить параметрическое задание линии в первые интегралы, взяв в качестве параметра

    Исключив получим подставляя сюда вместо констант соответствующие им первые интегралы или .


    написать администратору сайта