Главная страница
Навигация по странице:

  • А.П. Сальников ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ Конспект лекций Часть 2 САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2003

  • 4. Математические модели случайных процессов

  • Равномерное Нормальное (гауссовское)

  • Распределение дискретной случайной величины

  • Корреляционная (автокорреляционная) функция

  • Некоторые свойства корреляционной функции СП

  • Взаимная корреляционная функция

  • Корреляционная функция суммы

  • Министерство Российской Федерации по связи и информатизации санктпетербургский


    Скачать 3.7 Mb.
    НазваниеМинистерство Российской Федерации по связи и информатизации санктпетербургский
    АнкорSalnikov_A_P_Teoria_elektricheskoy_svyazi_Kons.pdf
    Дата27.07.2017
    Размер3.7 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаSalnikov_A_P_Teoria_elektricheskoy_svyazi_Kons.pdf
    ТипКонспект
    #15080
    страница1 из 10

    Подборка по базе: 09.10 Илюхина Межотраслевой баланс как инструмент изучения межот, послание президента российской федерации.docx, Правовое регулирование социального обслуживания лиц пожилого воз, МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.docx, Министерство образования и науки Российской Федерации Федерально, МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.docx, Министерство образования и науки Российской Федерации.docx, Определить наличие корреляционной связи между содержанием золота, Проблема введения накопительных элементов в пенсионную систему Р, Министерство здравоохранения Российской Федерации государственн.
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

    1
    Министерство Российской Федерации
    по связи и информатизации
    САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
    ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
    им. проф. М.А.Бонч-Бруевича
    А.П. Сальников
    ТЕОРИЯ
    ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ
    Конспект лекций
    Часть 2
    САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
    2003

    2
    УДК 621.391.1
    Сальников А.П. Теория электрической связи: Конспект лекций, часть 2/
    СПбГУТ.-СПб., 2003.– с.: ил.
    Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Теория электриче- ской связи».
    Содержит общие сведения о математических моделях случайных сигналов и помех, их преобразованиях в различных функциональных узлах. Рассмотрены за- дачи оптимального когерентного и некогерентного приема дискретных сообще- ний, реализации соответствующих демодуляторов для двоичных систем связи и определения помехоустойчивости для основных видов цифровой модуляции.
    Материал соответствует действующей учебной программе по курсу ТЭС.
    Ответственный редактор М.Н. Чесноков
    © Сальников А.П., 2003
    © Издание Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича, 2003

    3
    4. Математические модели случайных процессов
    Сигналы в системах передачи информации и действующие в них помехи по своей природе являются случайными процессами. Для их описания необходимо применять математический аппарат теории ве- роятностей и случайных процессов. Настоящую главу следует рас- сматривать как развитие раздела 2. Математические модели сигналов
    (Теория электрической связи. Конспект лекций. Часть 1) примени- тельно к случайным процессам.
    4.1.
    Понятие случайного процесса
    Случайный процесс (СП) X(t) является функцией времени, зна- чения которой в любой фиксированный момент времени t
    i
    представ- ляют собой случайную величину X(t
    i
    ). Здесь и в дальнейшем случай- ные величины и функции будем обозначать заглавными буквами, а детерминированные (неслучайные) – строчными, как это широко при- нято. На рис. 4.1 изображены возможные реализации x
    1
    (t) и
    x
    2
    (t) случайного процесса X(t), являющиеся детерминирован- ными функциями времени. Сам процесс можно трактовать как множество (в том числе и не- счетное) подобных реализаций
    { x
    k
    (t) } с соответствующей ве- роятностной мерой.
    Для полного описания се- чений X(t
    i
    ) СП необходимо указать законы распределения значений
    СП в этих сечениях. Они могут быть заданы в интегральной (функ-
    ция распределения) или дифференциальной (плотность вероятно-
    сти) формах. В таблице 4.1., в порядке напоминания, приведены ос- новные сведения об этих законах и их свойствах.
    x
    k
    (t)
    x
    1
    (t) x
    2
    (t)
    t
    i
    t
    Рис. 4.1. Реализации процесса X(t)

    4
    Таблица 4.1
    Название и обозначение
    Функция распределения
    F(x)
    Плотность вероятности
    w(x)
    Определение


    x
    X
    P
    x
    F


    )
    (
    x
    x
    x
    X
    x
    P
    x
    w
    x








    )
    (
    lim
    )
    (
    0
    Физическая размерность безразмерная размерность
    X
    1
    Взаимосвязь




    x
    dy
    y
    w
    x
    F
    )
    (
    )
    (
    dx
    x
    dF
    x
    w
    )
    (
    )
    (

    Особенности функции
    F(x
    2
    )

    F(x
    1
    ) при x
    2

    x
    1
    (неубывающая
    )
    w(x)

    0
    (неотрицательная)
    Расчет вероятности


    2 1
    x
    X
    x
    P




    )
    (
    )
    (
    1 2
    2 1
    x
    F
    x
    F
    x
    X
    x
    P










    2 1
    )
    (
    2 1
    x
    x
    dx
    x
    w
    x
    X
    x
    P
    Свойство нормировки
     
    1
    ,
    0
    )
    (



    
    F
    F
    1
    )
    (





    dx
    x
    w
    Примеры распределений случайных величин:
    Равномерное
    Нормальное (гауссовское)
    F(x)
    1 0 m x
    w(x)
    0 m x


    2 2
    ζ
    2
    ζ
    π
    2 1
    )
    (
    m
    x
    e
    x
    w











    x
    m
    y
    dy
    e
    x
    F
    2 2
    ζ
    2
    ζ
    π
    2 1
    )
    (



    








    2 2
    1 1
    2 1
    0 1
    0
    )
    (
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    w



    









    2 2
    1 1
    2 1
    1 1
    0
    )
    (
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    x
    F
    F(x)
    1
    x
    1 0 x
    2
    x
    w(x)
    x
    1 0 x
    2
    x

    5
    Распределение дискретной случайной величины
    Информация о сечениях СП не является достаточной для описа- ния самого СП, так как не содержит сведений о зависимостях сечений между собой. Исчерпывающее описание СП осуществляется с помо- щью n-мерной функции распределения


    n
    n
    n
    n
    x
    t
    X
    x
    t
    X
    x
    t
    X
    P
    t
    t
    t
    x
    x
    x
    F




    )
    (
    ,...,
    )
    (
    ,
    )
    (
    )
    ,...,
    ,
    ;
    ,...,
    ,
    (
    2 2
    1 1
    2 1
    2 1
    или n-мерной плотности вероятности
    n
    n
    n
    n
    n
    n
    x
    x
    x
    t
    t
    t
    x
    x
    x
    F
    t
    t
    t
    x
    x
    x
    w

    





    2 1
    2 1
    2 1
    2 1
    2 1
    )
    ,...,
    ,
    ;
    ,...,
    ,
    (
    )
    ,...,
    ,
    ;
    ,...,
    ,
    (
    , где x
    1,
    x
    2…,
    x
    n
    – аргументы, t
    1
    , t
    2
    …, t
    n
    – параметры этих функций, а n –
    любое целое число.
    Если n-мерная функция распределения (плотность вероятности)
    СП не меняется при сдвиге всех моментов t
    k
    (k = 1, 2, …, n) на один и тот же интервал

    t, то такой процесс называют стационарным в уз-
    ком смысле.
    4.2. Сокращенное описание случайных процессов
    Полное описание СП не всегда возможно, да и не всегда требует- ся. Во многих случаях достаточно знать основные его характеристики.
    В качестве таковых широко используют:
    1.
    Математическое ожидание СП – начальный момент первого по- рядка





    










    m
    i
    i
    i
    -
    t
    x
    P
    x
    -
    dx
    t
    x
    xw
    t
    X
    t
    X
    M
    1
    СП.
    о дискретног для
    )
    ,
    (
    СП,
    го непрерывно для
    )
    ,
    (
    )
    (
    )
    (
    2.
    Дисперсия СП – центральный момент второго порядка





    4 1
    )
    (
    1
    )
    (
    )
    (
    i
    i
    i
    x
    x
    x
    P
    x
    F





    4 1
    )
    (
    δ
    )
    (
    )
    (
    i
    i
    i
    x
    x
    x
    P
    x
    w
    F(x)
    1
    x
    1
    x
    2 0
    x
    3
    x
    4
    x
    w(x)
    x
    1
    x
    2 0
    x
    3
    x
    4
    x

    6











    














    m
    i
    i
    i
    t
    x
    P
    t
    X
    x
    dx
    t
    x
    w
    t
    X
    x
    t
    X
    t
    X
    t
    X
    t
    X
    D
    1 2
    2 2
    2
    СП.
    дискр.
    -
    )
    ,
    (
    )
    (
    СП,
    непр.
    -
    )
    ,
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (

    Здесь использовано понятие центрированного СП
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    t
    X
    t
    X
    t
    X



    3.
    В общем случае можно использовать моменты k-го порядка:
    начальные





    









    m
    i
    i
    k
    i
    k
    k
    t
    x
    P
    x
    dx
    t
    x
    w
    x
    t
    X
    m
    1
    СП о
    дискретног для
    -
    )
    ,
    (
    СП
    го непрерывно для
    -
    )
    ,
    (
    )
    (
    ,
    центральные









    












    m
    i
    i
    k
    i
    k
    k
    k
    t
    x
    P
    t
    X
    x
    dx
    t
    x
    w
    t
    X
    x
    t
    X
    t
    X
    1
    СП о
    дискретног для
    -
    )
    ,
    (
    )
    (
    СП
    го непрерывно для
    -
    )
    ,
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (


    Нетрудно видеть, что моменты полностью определяются одно- мерным распределением и в общем случае произвольного СП являют- ся детерминированными функциями времени. Для стационарных в уз- ком смысле СП моменты от времени не зависят.
    1.
    Корреляционная (автокорреляционная) функция – централь- ный смешанный момент второго порядка

    

    2 1
    2 1
    2 1
    2 2
    1 1
    2 1
    2 1
    )
    ,
    ;
    ,
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    ,
    (
    dx
    dx
    t
    t
    x
    x
    w
    t
    X
    x
    t
    X
    x
    t
    X
    t
    X
    t
    t
    B
    X




     








    Случайные процессы называют стационарными в широком
    смысле, если выполняются следующие условия:


    const
    )
    (

    t
    X
    M
    ,


    const
    )
    (

    t
    X
    D
    ,
    )
    (
    )
    ,
    (
    2 1

    X
    X
    B
    t
    t
    B

    , где τ = t
    2
    t
    1
    Очевидно, что стационарность СП в узком смысле влечет его ста- ционарность в широком смысле, но не наоборот.
    Некоторые свойства корреляционной функции СП:
    1.


    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    0
    (
    2
    t
    X
    D
    t
    X
    t
    X
    t
    X
    B
    X







    7 2.


    )
    (
    )
    0
    (
    )
    (
    t
    X
    D
    B
    B
    X
    X



    Доказательство:







    

    



    )
    (
    )
    (
    )
    (
    2
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    2 2
    2



    t
    X
    t
    X
    t
    X
    t
    X
    t
    X
    t
    X






    0
    )
    (
    2
    )
    0
    (
    2




    X
    X
    B
    B
    , откуда следует вышеуказанное неравенство
    3. Корреляционная функция характеризует статистическую связь се- чений СП (внутри процесса). Если связи между сечениями
    )
    (
    1
    t
    X
    и
    )
    (
    2
    t
    X
    нет (сечения статистически независимы), то
    0
    )
    ,
    (
    2 1

    t
    t
    B
    X
    Доказательство:

    





     






    2 1
    2 1
    2 1
    2 2
    1 1
    2 1
    )
    ,
    ;
    ,
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    ,
    (
    dx
    dx
    t
    t
    x
    x
    w
    t
    X
    x
    t
    X
    x
    t
    t
    B
    X

    





     






    2 1
    2 2
    1 1
    2 2
    1 1
    )
    ,
    (
    )
    ,
    (
    )
    (
    )
    (
    dx
    dx
    t
    x
    w
    t
    x
    w
    t
    X
    x
    t
    X
    x




    0
    )
    (
    )
    (
    )
    ,
    (
    )
    (
    )
    ,
    (
    )
    (
    2 1
    2 2
    2 2
    2 1
    1 1
    1 1














    t
    X
    t
    X
    dx
    t
    x
    w
    t
    X
    x
    dx
    t
    x
    w
    t
    X
    x


    Отсутствие связи влечет отсутствие корреляции, но не наоборот.
    Обратное утверждение справедливо лишь в случае нормального (гаус- совского) процесса.
    Нормальным называют СП, у которого одномерная плотность вероятности имеет вид


    2 2
    ζ
    2
    ζ
    π
    2 1
    )
    (
    m
    x
    e
    x
    w



    , где


    )
    (
    )
    (
    t
    X
    t
    X
    M
    m


    ,


    )
    (
    ζ
    2
    t
    X
    D

    , а любая n-мерная плотность вероятности описывается выражением
    )
    )(
    (
    2 1
    2 1
    1 1
    )
    ,...,
    ,
    ;
    ,...,
    ,
    (
    j
    j
    i
    i
    n
    i
    n
    j
    ij
    a
    x
    a
    x
    c
    n
    n
    n
    e
    A
    t
    t
    t
    x
    x
    x
    w



    



    , где A
    n
    , c
    ij
    , a
    i
    , a
    j
    – константы, определяемые выбором сечений t
    1
    ,t
    2
    ,,,t
    n
    4. Корреляционная функция стационарного случайного процесса яв- ляется четной
    )
    η
    (
    )
    η
    (


    X
    X
    B
    B
    Доказательство:
    )
    η
    (
    )
    (
    )
    η
    (
    1 1


    t
    X
    t
    X
    B
    X


    Подставляя
    η
    1 2


    t
    t
    , получим

    8
    )
    η
    (
    )
    η
    (
    )
    (
    )
    η
    (
    2 2




    X
    X
    B
    t
    X
    t
    X
    B


    5. Чтобы абстрагироваться от дисперсии и учитывать только связи внутри СП удобно пользоваться нормированной функцией корреля- ции (коэффициентом корреляции)


    )
    0
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    X
    X
    X
    X
    B
    t
    B
    t
    X
    D
    t
    B
    R



    Очевидно, что
    1
    )
    η
    (
    1
    ,
    1
    )
    0
    (




    X
    X
    R
    R
    6. Интервал корреляции – грубую числовую оценку связи внутри
    СП – чаще всего определяют методом равновеликого прямоугольника



    0
    кор
    η
    )
    η
    (
    η
    d
    R
    7. Взаимная корреляционная функция двух процессов X(t) и Y(t)









    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    2 1
    )
    ,
    (
    1 2
    2 1
    2 1
    t
    Y
    t
    X
    t
    Y
    t
    X
    t
    t
    B
    XY




    )
    ,
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    2 1
    1 2
    2 1
    t
    t
    B
    t
    Y
    t
    X
    t
    Y
    t
    X
    YX







    8. Корреляционная функция суммы независимых случайных про- цессов
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    t
    Y
    t
    X
    t
    Z


    есть сумма корреляционных функций каж- дого из слагаемых СП в отдельности
    )
    ,
    (
    )
    ,
    (
    )
    ,
    (
    2 1
    2 1
    2 1
    t
    t
    B
    t
    t
    B
    t
    t
    B
    Y
    X
    Z


    Доказательство:

    

    



    

    




    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    ,
    (
    2 2
    1 1
    2 1
    2 1
    t
    Y
    t
    X
    t
    Y
    t
    X
    t
    Z
    t
    Z
    t
    t
    B
    Z











    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    2 1
    2 1
    2 1
    2 1
    t
    Y
    t
    Y
    t
    Y
    t
    X
    t
    X
    t
    Y
    t
    X
    t
    X








    )
    ,
    (
    )
    ,
    (
    )
    ,
    (
    )
    ,
    (
    2 1
    )
    сть независимо
    (
    0 2
    1
    )
    сть независимо
    (
    0 2
    1 2
    1
    t
    t
    B
    t
    t
    B
    t
    t
    B
    t
    t
    B
    Y
    XY
    YX
    X






    



    

    Вместо усреднения по множеству реализаций случайного процес- са можно ввести его усреднение по времени, определяя:
      1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


    написать администратору сайта